2023届高考数学一轮复习课时跟踪检测（三十六）合情推理与演绎推理理（普通高中、重点高中共用）

课时跟踪检测〔三十六〕合情推理与演绎推理普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A级——根底小题练熟练快1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．以下推理中属于归纳推理且结论正确的选项是()A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的面积S＝πabD．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n解析：选A选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．(2023·衡水三调)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是()A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，应选A.4．在用演绎推理证明通项公式为an＝cqn(cq≠0)的数列{an}是等比数列的过程中，大前提是()A．an＝cqnB.eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)C．假设数列{an}满足eq\f(an＋1,an)(n∈N*)是常数，那么{an}是等比数列D．假设数列{an}满足eq\f(an＋1,an)(n≥2)是常数，那么{an}是等比数列解析：选C证明一个数列是等比数列的依据是等比数列的定义，其公式表示为eq\f(an＋1,an)(n∈N*)或eq\f(an,an－1)(n≥2)是常数．5．假设等差数列{an}的前n项之和为Sn，那么一定有S2n－1＝(2n－1)an成立．假设等比数列{bn}的前n项之积为Tn，类比等差数列的性质，那么有()A．T2n－1＝(2n－1)＋bn B．T2n－1＝(2n－1)bnC．T2n－1＝(2n－1)bn D．T2n－1＝beq\o\al(2n－1,n)解析：选D在等差数列{an}中，a1＋a2n－1＝2an，a2＋a2n－2＝2an,…，故有S2n－1＝(2n－1)an，在等比数列{bn}中，b1b2n－1＝beq\o\al(2,n)，b2·b2n－2＝beq\o\al(2,n)，…，故有T2n－1＝b1b2…b2n－1＝beq\o\al(2n－1,n).6．(2023·渭南一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为()A．45 B．55C．65 D．66解析：选B第1个图中，小石子有1个，第2个图中，小石子有3＝1＋2个，第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝eq\f(10×11,2)＝55个，即a10＝55，应选B.7．(2023·咸阳二模)观察以下式子：eq\r(1×2)<2，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)<eq\f(9,2)，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)<8，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)＋eq\r(4×5)<eq\f(25,2)，……，根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是____________________．解析：根据所给不等式可得第n个不等式是eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n×n＋1)<eq\f(n＋12,2)(n∈N*)．答案：eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n×n＋1)<eq\f(n＋12,2)8．用火柴棒摆“金鱼〞，如下图，按照图中的规律，第n个“金鱼〞需要火柴棒的根数为________．解析：由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼〞需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.答案：6n＋29．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).假设y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)10．(2023·岳阳月考)观察以下不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜测第n个不等式为______________．解析：观察给出的式子可得出如下规律：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)>1＝eq\f(2,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,23－1)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,24－1)>2＝eq\f(4,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,25－1)>eq\f(5,2)，……猜测：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)，n∈N*.答案：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)，n∈N*B级——中档题目练通抓牢1．在等比数列{an}中，假设am＝1，那么有a1a2…an＝a1a2…a2m－1－n(n<2m－1，且n∈N*)成立，在等差数列{bnA．b1b2…bn＝b1b2…b2m－1－n(n<2m－1，且n∈NB．b1b2…bn＝b1b2…b2m－n＋1(n<2m＋1，且n∈NC．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b2m－1－n(n<2m－1，且n∈ND．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b2m－n＋1(n<2m＋1，且n∈N解析：选C等比数列的“比〞对应等差数列的“差〞，类比上述性质，等比数列的“积〞对应等差数列的“和〞，由此排除A、B，对于C、D，注意项数的变化知C正确．2．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，那么anm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：选A由前4行的特点，归纳可得：假设anm＝(x，y)，那么x＝m，y＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．3．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，那么f(n)的表达式为()A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1解析：选D因为f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.4．(2023·襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0,1,2,3，…时，得到以下等式：(x2＋x＋1)0＝1，(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如下图的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(缺乏3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有2k＋1个数，假设(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，那么实数a的值为________．广义杨辉三角第0行1第1行111第2行12321第3行1367631第4行14101619161041……解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行为：1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x7项的系数为30＋45a＝75，解得a答案：15.(2023·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，那么积不容异．〞这里的“幂〞指水平截面的面积，“势〞指高．这句话的意思是：两个等高的几何体假设在所有等高处的水平截面的面积相等，那么这两个几何体体积相等．设由椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)如下图，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×b2×a－\f(1,3)π×b2×a))＝eq\f(4,3)πb2a.答案：eq\f(4,3)πb2a6．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明：∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞eq\f(π,2)，∴A＞eq\f(π,2)－B，∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，∴sinA＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.7．O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，那么eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法〞：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法〞证明．解：在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．那么eq\f(OE,AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.证明：在四面体OBCD与ABCD中，eq\f(OE,AE)＝eq\f(h1,h)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·h1,\f(1,3)S△BCD·h)＝eq\f(VOBCD,VABCD).同理有eq\f(OF,DF)＝eq\f(VOABC,VDABC)；eq\f(OG,BG)＝eq\f(VOACD,VBACD)；eq\f(OH,CH)＝eq\f(VOABD,VCABD).∴eq\f(OE,AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝eq\f(VOBCD＋VOABC＋VOACD＋VOABD,VABCD)＝eq\f(VABCD,VABCD)＝1.C级——重难题目自主选做某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角