2023版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第2课时平面与平面垂直学案（含解析）新人教B版必修2

第2课时平面与平面垂直1.了解面面垂直的定义.(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理.(重点)3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题.(难点)[根底·初探]教材整理1平面与平面垂直的判定阅读教材P52～P53“第12自然段〞内容，完成以下问题.1.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：图1­2­56记作：α⊥β.2.判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l⊂α))⇒α⊥β对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC.m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】因为m∥n，n⊥β，那么m⊥β，又m⊂α，故α⊥β，所以C正确.【答案】C教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P53“第13自然段〞～“例4〞以上内容，完成以下问题.文字语言两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α,a⊥l))⇒a⊥β图形语言设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，那么()A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β，应选C.【答案】C[小组合作型]平面与平面垂直的判定如图1­2­57所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：图1­2­57(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【精彩点拨】(1)要证DE＝DA，只需证明Rt△EFD≌Rt△DBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.【自主解答】(1)取EC的中点F，连接DF.∵EC⊥BC，易知DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.∴ED＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，那么MNeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)EC，∴MN∥BD，∴N点在平面BDMN内.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA.即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵BDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)EC，MNeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)EC.∴MNBD为平行四边形.∴DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.1.证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.2.根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.[再练一题]1.如图1­2­58所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.图1­2­58【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵CD⊂平面PDC.∴平面PDC⊥平面PAD.面面垂直性质定理的应用如图1­2­59所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.图1­2­59(1)假设G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.【精彩点拨】(1)eq\x(菱形ABCD，∠DAB＝60°)→eq\x(△ABD为正三角形)→eq\x(BG⊥AD)eq\o(→,\s\up14(面PAD⊥底面ABCD))eq\x(BG⊥平面PAD)(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可.【自主解答】(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.1.证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理.(2)面面垂直的性质定理.(3)假设a∥b，a⊥α，那么b⊥α(a、b为直线，α为平面).(4)假设a⊥α，α∥β，那么a⊥β(a为直线，α，β为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.[再练一题]2.如图1­2­60所示，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图1­2­60【证明】∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.[探究共研型]垂直关系的综合应用探究1如图1­2­61所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？图1­2­61【提示】∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，∵AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.探究2如图1­2­62所示，圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝eq\f(1,3)DB，点C为圆O上一点，且BC＝eq\r(3)AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.图1­2­62【提示】连接CO，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图1­2­63所示，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：图1­2­63(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理.【自主解答】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.此题面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.2.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.[再练一题]3.如图1­2­64所示，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点.图1­2­64(1)求证：EF∥平面PAB；(2)假设平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.1.以下命题中错误的选项是()A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项表达是错误的.【答案】D2.空间四边形ABCD中，假设AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC【解析】∵eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD＝B))\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒AD⊥平面BCD,又AD⊂平面ADC))\o(\a\al(⇒平面ADC⊥,平面DBC.))))【答案】D3.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】连接AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，因为四边形ABCD的各边相等，所以AC⊥BD，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PC，要使平面MBD⊥平面PCD，只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可，所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC)；故填DM⊥PC(或BM⊥PC).【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)4.以下四个命题中，正确的序号有________.①α∥β，β⊥γ，那么α⊥γ；②α∥β，β∥γ，那么α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，那么α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，那么α∥γ.【解析】③④不正确，如下图，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直.【答案】①②5.在四面体ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面B