2023版高中数学第一章解直角三角形1.2应用举例第1课时距离和高度问题学业分层测评新人教B版必修5

距离和高度问题(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1­2­6，测得下面四组数据，较合理的是()图1­2­6A.c与αB.c与bC.b，c与βD.b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】D2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，那么14时两船之间的距离是()A.50nmile B.70nmileC.90nmile D.110nmile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile，30nmile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70(nmile).【答案】B3.如图1­2­7所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，那么坡度值tanα等于()图1­2­7A.eq\f(\r(231),5)B.eq\f(5,16)C.eq\f(\r(231),16) D.eq\f(11,5)【解析】由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，得3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16)，所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).【答案】A4.如图1­2­8，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.AB＝1km，水的流速为2km/h，假设客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，那么客船在静水中的速度为()图1­2­8A.8km/h B.6eq\r(2)km/hC.2eq\r(34)km/h D.10km/h【解析】设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).【答案】B5.如图1­2­9，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，那么河流的宽度BC等于()图1­2­9A.240(eq\r(3)－1)m B.180(eq\r(2)－1)mC.120(eq\r(3)－1)m D.30(eq\r(3)＋1)m【解析】∵tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝2－eq\r(3)，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(eq\r(3)－1)(m)，应选C.【答案】C二、填空题6.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，那么坡底要伸长________千米.【解析】如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米).【答案】eq\r(2)7.如图1­2­10，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，那么河的宽度是________m.图1­2­10【解析】tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan75°＝eq\f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60eq\r(3)，故CD＝60.【答案】608.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图1­2­11所示，AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，假设忽略机器人原地旋转所需的时间，那么该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球.图1­2­11【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－eq\f(23,3)(dm)(舍去).∴该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球.【答案】7三、解答题9.A，B，C，D四个景点，如图1­2­12，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2km，C，D相距(3eq\r(2)－eq\r(6))km，求A，B两景点的距离.图1­2­12【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，即BD＝eq\f(CD·sin75°,sin60°)＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.即A，B两景点的距离为2km.10.如图1­2­13所示，在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60m的地面上取一点A，假设测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度.图1­2­13【解】设CD＝xm，∠BAC＝α，那么△ABC中，tanα＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2).又∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(x＋30,60)＝tan(45°＋α).又tan(45°＋α)＝eq\f(tan45°＋tanα,1－tan45°tanα)＝3，∴eq\f(x＋30,60)＝3，解得x＝150m，所以电视塔的高度为150m.[能力提升]1.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，那么第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A.d1>d2 B.d1＝d2C.d1<d2 D.不能确定大小【解析】如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.在△PBC中，eq\f(d1,sinα)＝eq\f(PB,sin∠PCB)，在△PCD中，eq\f(d2,sinβ)＝eq\f(PD,sin∠PCD)，∵sinα＝sinβ，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(PB,PD).∵PB<PD，∴d1<d2.【答案】C2.如图1­2­14所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是β，α(β＜α)，那么A点离地面的高AB等于()图1­2­14A.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)B.eq\f(asinαsinβ,cosα－β)C.eq\f(asinαcosβ,sinα－β)D.eq\f(acosαcosβ,cosα－β)【解析】设AB＝h，那么AD＝eq\f(h,sinα).因为∠CAD＝α－β，所以eq\f(CD,sinα－β)＝eq\f(AD,sinβ)，所以eq\f(a,sinα－β)＝eq\f(h,sinαsinβ)，所以h＝eq\f(asinαsinβ,sinα－β).【答案】A3.如图1­2­15所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处.那么石竹山这条索道AC长为________米.图1­2­15【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，所以eq\f(200,sin30°)＝eq\f(AD,sin120°).所以AD＝eq\f(200×sin120°,sin30°)＝200eq\r(3)(米).在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200eq\r(3))2＋3002－2×200eq\r(3)×300×cos150°＝390000，所以AC＝100eq\r(39)(米).故石竹山这条索道AC长为100eq\r(39)米.【答案】100eq\r(39)4.2023年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机.为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1­2­16)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.图1­2­16【解】方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,sinα1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝eq\f(dsinβ2,sinβ2－β1)；第三步：计