2023版高中数学第三章概率章末分层突破学案新人教B版必修3

第三章概率[自我校对]①P(A)＋P(B)②P(A)＋P(B)＝1③A包含的根本领件的个数/根本领件的总数随机事件的概率1.有关事件的概念(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件.(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件.(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S确实定事件，简称确定事件.(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.2.对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的根本方法是通过大量的重复试验.(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率eq\f(b,a)(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？【精彩点拨】结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率.【标准解答】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，那么x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘.[再练一题]1.某射击运发动为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455(1)该射击运发动射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运发动射击了300次，那么击中靶心的次数大约是多少？(3)假设该射击运发动射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假设该射击运发动射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？【解】(1)由题意，击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次).(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心.(4)不一定.互斥事件与对立事件1.对互斥事件与对立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，那么两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，那么可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式.(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，那么两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B).2.互斥事件概率的求法(1)假设A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和.值得注意的是：①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.3.对立事件概率的求法P(Ω)＝P(A∪eq\x\to(A))＝P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，由公式可得P(A)＝1－P(eq\x\to(A))(这里eq\x\to(A)是A的对立事件，Ω为必然事件).4.互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目.其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【精彩点拨】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式.【标准解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题〞的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题〞的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题〞的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题〞的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题〞的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到判断题，乙抽到选择题〞的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题〞的概率为eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙两人都抽到判断题〞的概率为eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题〞的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).[再练一题]2.某效劳，打进的响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的响4声而不被接的概率是多少？【解】(1)设事件“响第k声时被接〞为Ak(k∈N)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的在响5声之前被接〞为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的响4声而不被接〞是事件A“打进的在响5声之前被接〞的对立事件，记为eq\x\to(A).根据对立事件的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.古典概型与几何概型古典概型是一种最根本的概率模型，也是学习其他概率模型的根底，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个根本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝eq\f(m,n)时，关键是正确理解根本领件与事件A的关系，求出n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置.我们要理解并掌握几何概型试验的两个根本特征，即：每次试验中根本领件的无限性和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝eq\f(m,n)求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，表达了数形结合的数学思想.甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率.【精彩点拨】甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是6小时，当两船到达泊位的时间差不超过6小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待.【标准解答】设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x、y.那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤24，,0≤y≤24，,|x－y|≤6.))作出如下图的区域.此题中，区域D的面积S1＝242，区域d的面积S2＝242－182.∴P＝eq\f(d的面积,D的面积)＝eq\f(242－182,242)＝eq\f(7,16).即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为eq\f(7,16).[再练一题]3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，那么b>a的概率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)【解析】∵当b＝1时，没有满足条件的a值；当b＝2时，a＝1；当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况.而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，∴b>a的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).【答案】D概率与统计的综合问题统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，到达求解的目的.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图3­1所示.图3­1(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.【导学号：00732104】【精彩点拨】(1)根据“叶〞上的数据的集中情况作出判断；(2)代入方差的计算公式求解；(3)列出根本领件和所求事件，用古典概型概率公式求解.【标准解答】(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160cm～179cm之间，而乙班身高集中于170cm～179cm之间.因此乙班平均身高高于甲班；(2)eq\x\to(x)＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182,10)＝170(cm).甲班的样本方差s2＝eq\f(1,10)[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2).(3)设“身高为176cm的同学被抽中〞为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个根本领件，而事件A含有4个根本领件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).[再练一题]4.某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，假设生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族〞，否那么称为“非低碳族〞，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3图3­2(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族〞中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.【解】(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为eq\f(0.3,5)＝0.06.频率分布直方图如下：第一组的人数为eq\f(120,0.6)＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝eq\f(200,0.2)＝1000.由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以p＝eq\f(195,300)＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族〞与[45,50)岁年龄段的“低碳族〞的比值为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人.设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2人为m，n，那么选取2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种.所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为eq\f(8,15).数形结合思想数形结合思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用.在古典概型中，根本领件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比拟直观计数.在几何概型中，把根本领件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比.设点(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，试求方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数的概率.【精彩点拨】试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部.【标准解答】根本领件总体的区域D的度量为正方形面积，即D的度量为S正方形＝62＝36，由方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数，得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，∴p2＋q2≥1.∴当点(p，q)落在如下图的阴影局部时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d的度量为S正方形－S圆＝36－π，∴原方程的两根都是实数的概率为P＝eq\f(36－π,36).[再练一题]5.三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，假设从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？【解】记三人为A、B、C，那么4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下列图：每一个分支为一种传球方案，那么根本领件的总数为16，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).1.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，那么这3个数构成一组勾股数的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,20)【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为eq\f(1,10).应选C.【答案】C2.在区间[0,2]上随机地取一个数x，那么事件“－1≤logeq\s\do10(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为()【导学号：00732105】A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)【解析】不等式－1≤logeq\s\do10(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化为logeq\s\do10(\f(1,2))2≤logeq\s\do10(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do10(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由几何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).【答案】A3.某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)【解析】如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).应选B.【答案】B4.如图3­3，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的图象上.假设在矩形ABCD内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率等于()图3­3A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)【解析】因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0，))B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影局部的面积为eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).【答案】B5.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)【解析】因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如下图.假设两数的平方和小于1，那么对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个.用随机模拟的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).【答案】C6.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，那么小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)【解析】设小王到校时间为x，小张到校时间为y，那么小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影局部)的面积为eq\f(1,2)×15×15＝eq\f(225,2)，故所求概率P＝eq\f(\f(225,2),400)＝eq\f(9,32).【答案】eq\f(9,32)7.某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球.假设摸出的2个球都是红球那么中奖，否那么不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗？请说明理由.【导学号：00732106】【解】(1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}.(2)不正确.理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个