线性代数B期末试题

线性代数B期末试题一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，，则有。（）。2．A，B是同阶方阵，且，则（）()3．如果与等价，则的行向量组与的行向量组等价。4．若均为阶方阵，则当时，一定不相似。()5．n维向量组线性相关，则也线性相关。（）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。（A）(B)(C)(D)2．设向量组（A）线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。（B）（D）（C）3．设A为n阶方阵，且。则（）(A)(B)(C)(D)4．设为（A）若（B）若矩阵，则有（）。，则有无穷多解；，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；（C）若有阶子式不为零，则（D）若有阶子式不为零，则有唯一解；仅有零解。5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）（A）A与B相似（B），但|A-B|=0（C）A=B（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）1．。2．为3阶矩阵，且满足3,则=______，。3．向量组，。，，是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是4．已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，，，则方程组的通解为。5．设，且秩(A)=2，则a=。四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。1．已知A+B=AB，且2.设，求矩阵B。，而，求。3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型5．A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。线性代数试题一．单项选择题（每小题4分,共16分）1.若(A)都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是()..(B).(C).(D).2.若为三阶方阵，将矩阵第一列与第三列交换得矩阵，再把矩阵的第二列加到第三列得矩阵，则满足的可逆矩阵为().(A).(B)都是阶方阵，且.(C).(D).3.若，，则必有().(A).(B).(C).(D)4.已知向量组的秩为3，向量组的秩为3，向量组的秩为4，则向量组的秩为（）.(A)3.(B)4.(C)5.(D)不能确定二、填空题（每小题4分，共计16分）5.设均为三阶矩阵，，则=.6.设是4阶矩阵，伴随矩阵的特征值是，则矩阵的全部特征值是.7.若向量组8.若矩阵，，的秩为2，则.为正定的，则满足的条件为.三、解答下列各题（每小题10分,共30分）9.（10分）设，矩阵满足，求矩阵.10.（10分）已知维向量组无关.线性无关，则为何值时，向量组亦线性11.（10分）已知矩阵有一个特征值，是属于特征值的特征向量.求(1)常数的值；(2)判定是否可相似对角化，说明理由.四、解答下列各题（每小题15分,共30分）12.（15分）设非齐次线性方程组,问：取何值时，此方程组有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解．13.（15分）设二次型，其中二次型矩阵的特征值之和为1，特征值之积为为标准形.，(1)求的值；(2)求正交变换，化二次型线性代数试题一．单项选择题(每小题3分,共15分)1．是非齐次线性方程组有无穷多解的().(A)充分条件.(B)必要条件.(C)既非充分条件又非必要条件.(D)不能确定.2.若向量组，，的秩为2，则().(A)1.(B)-2.(C)2.(D)-1.3.若都是阶方阵，且，，则必有().(A).(B).(C).(D).4.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是().(A).(B).(C).(D).5.已知是阶可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵是().(A).(B).(C).(D).二、填空题（每小题4分，共计20分）6.已知为3阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，若，则=.7.设=8.已知，则的基础解系中所含向量的个数是.与相似，则=.9.矩阵的逆矩阵为.10.若矩阵为正定的，则满足的条件为.三、解答下列各题（每小题10分，共计30分）11.已知，其中，，求矩阵.12.设矩阵，的秩为3，求.13.设为三阶矩阵，有三个不同特征值，依次是属于特征值的特征向量，令。若，求的特征值并计算行列式.四、解答下列各题（每小题15分，共计30分）14.设非齐次线性方程组,问为何值时,系数矩阵的秩为2？并求此时方程组的通解．15.已知二次型通过正交变换化成标准形，(1)求参数的值；(2)求正交矩阵.线性代数解答一．单项选择题(每小题3分,共15分)1．是非齐次线性方程组有无穷多解的(B).(A)充分条件.(B)必要条件.(D)不能确定.(C)既非充分条件又非必要条件.16.若向量组则为(B).，，的秩为2，(A)1.(B)-2.(C)2.(D)-1.17.若都是阶方阵，且，，则必有(B).(A).(B).(C).(D).18.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是(A).(A).(B).(C).(D).19.已知是阶可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵是(C).(A).(B).(C).(D).二、填空题（每小题4分，共计20分）20.已知为3阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，若，则=-4.21.设=22.已知，则的基础解系中所含向量的个数是2.与相似，则=4.23.矩阵的逆矩阵为.24.若矩阵为正定的，则满足的条件为.三、解答下列各题（每小题10分，共计30分）25.已知，其中，，求矩阵.解：而，26.设矩阵，的秩为3，求.解：当时，～，；当时，～，从而27.设为三阶矩阵，有三个不同特征值，依次是属于特征值的特征向量，令。若，求的特征值并计算行列式.解：若由于，则，线性无关，所以有由于三个特征值各不相同，所以三个特征值为：0，-1，1.从而矩阵的三个特征值为：-3，-5，-1，因此=-15.四、解答下列各题（每小题15分，共计30分）28.设非齐次线性方程组,问为何值时,系数矩阵的秩为2？并求此时方程组的通解．解：对增广矩阵进行初等行变换～，当即时，系数矩阵的秩为2。此时，方程组有无穷多解，～得通解为29.已知二次型通过正交变换化成标准形，(1)求参数的值；(2)求正交矩阵.解:（1）（2）相似于对角矩阵，所以有解之得：，的特征值为当时，解方程组得基础解系，正交话并单位化得；当时，解方程组得基础解系，单位化得。令，则在正交变换下，二次型有标准形：.线性代数试题（07）一、选择题（每小题3分，共计15分）1．设(A)．均为阶方阵，(B)．；(C)．，则．；；(D)．2．设，，，，则必有．(A)．；(B)．；(C)．满足：（1）；(D)．．3．设向量组；（2）。则向量组的秩为．(A)．3；(B)．4；(C)．5；(D)．前三个都不对．4．设是矩阵且，则下列说法错误的是．(A)．齐次线性方程组(B)．非齐次线性方程组(C)．非齐次线性方程组(D)．非齐次线性方程组有无穷多解；的增广矩阵的行所成的向量组线性无关；一定有无穷多解；可能无解．5．设是阶实对称矩阵，则下列说法正确的是．(A)．一定有个线性无关的特征向量；(B)．的特征值一定为正；(C)．的任意两个不同的特征向量一定是正交的；(D)．一定有个不同的特征值．二、填空题（每小题4分，共计20分）1．已知，则.2．若向量组线性相关，则，则__________．_．3．设是阶方阵，若有非零矩阵使4．设是阶矩阵且，是的一个特征值，则必有一个特征值是_________．5．若阶矩阵的特征值为三、计算题（共计39分），矩阵与相似，则．1．（13分）设满足，其中，．求．2．（13分）设非齐次线性方程组问：、取何值时，此方程组有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解．3．（13分）设二次型通过正交变换化成标准形，求的值并求出该正交变换．四、（共计26分）1．（6分）设为阶矩阵，且满足2．（6分）设是阶可逆矩阵，．问：矩阵是否可逆？证明你的结论．，是的伴随矩阵。求：．；．3．（6分）设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量分别为，，。又设向量，求．4．（4分）设阶矩阵的每行元素之和为，求矩阵的一个特征值和特征向量．5．（4分）设是阶正定矩阵，是阶反对称矩阵，即是正定矩阵？证明你的结论．，问：是否线性代数解答（07）一、选择题（每小题3分，共计15分）1．设(A)．均为阶方阵，(B)．；(C)．，则(C)．；；(D)．2．设，，，，则必有(C)．(A)．；(B)．；(C)．满足：（1）；(D)．．3．设向量组；（2）。则向量组的秩为(B)．(D)．前三个都不对．(A)．3；(B)．4；(C)．5；4．设是矩阵且，则下列说法错误的是(D)．(A)．齐次线性方程组(B)．非齐次线性方程组(C)．非齐次线性方程组(D)．非齐次线性方程组有无穷多解；的增广矩阵的行所成的向量组线性无关；一定有无穷多解；可能无解．5．设是阶实对称矩阵，则下列说法正确的是(A)．(A)．一定有个线性无关的特征向量；(B)．的特征值一定为正；(C)．的任意两个不同的特征向量一定是正交的；(D)．一定有个不同的特征值．二、填空题（每小题4分，共计20分）2．已知，则0.2．若向量组线性相关，则__2___．3．设是阶方阵，若有非零矩阵使，则0_．4．设是阶矩阵且，是的一个特征值，则必有一个特征值是_1____．5．若阶矩阵的特征值为三、计算题（共计39分），矩阵与相似，则n!．1．（13分）设解由满足得，其中，．求．2．（13分）设非齐次线性方程组问：、取何值时，此方程组有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解．解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：所以，（1）当时，，此时方程组有唯一解．，此时方程组无解．（2）当，，时，，（3）当时，，此时方程组有无穷多解．，时，增广矩阵的行最简形矩阵为通解为：3．（13分）设二次型通过正交变换化成标准形，求的值并求出该正交变换．解二次型的矩阵及标准形的矩阵分别为，．因为，所以有，即由此得．而且矩阵的三个特征值分别为．特征值特征值对应的单位特征向量为对应的单位特征向量为特征值对应的单位特征向量为令：得该正交变换为四、（共计26分）1．（6分）设为阶矩阵，且满足，．问：矩阵是否可逆？证明你的结论．解所以，不可逆。2．（6分）设是阶可逆矩阵，是的伴随矩阵。求：．；．解（1）（2）3．（6分）设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量分别为，，。又设向量，求．解法一：∵β=p2且Ap2=2p2，A2p2=22p2，…，Anp2=2np2∴Anβ=2nβ=。解法二：，，。，。，4．（4分）设阶矩阵的每行元素之和为，求矩阵的一个特征值和特征向量．解，则，所以是的一个特征值，对应的特征向量为。5．（4分）设是阶正定矩阵，是阶反对称矩阵，即，问：是否是正定矩阵？证明你的结论．解。设，则是正定矩阵，所以时，。故时。是正定矩阵。线性代数试题b(07)一、判断题（正确的填T，错误的填F。每题3分，共18分）1．与为阶方阵，。（）2．向量组3．方阵线性无关，则也线性无关。（）一定不可逆。（）4．若,是同阶可逆矩阵，则与有相同的特征值。（）5．方阵为正定矩阵的充分必要条件是。（）6．与为阶方阵，若，则。()二、选择题（每题4分，共12分）1．两个阶初等矩阵的乘积一定为（）。（A）初等矩阵；（B）单位矩阵；（C）可逆阵；（D）不可逆阵。2．与相似的对角矩阵共有（）。（A）0个；(B)1个；（C）3个；（D）6个。3．已知线性方程组的系数矩阵是矩阵，且的行向量组线性无关，则下列结论正确的是（）。（A）的列向量组线性无关；（B）线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；（C）线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关；（D）线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关。三、填空题（每题4分，共12分）1．若向量组线性相关，则__________．2．满足什么条件时，方程组有非零解。3．若方阵的每行的元素的和均为，则的一个特征值为四、计算下列各题（每题8分，共32分），一个特征向量为。1．已知，其中，求。2．已知向量组，。求该向量组的秩以及一个极大无关组。3．求其通解。取什么值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？并在有无穷多解时化为标准形。4．求正交变换，用此正交变换将二次型五、解答下列各题（每题8分，共16分）1．已知方阵满足，判断，是否可逆？如果可逆，求它们的逆矩阵。2．设矩阵，其中线性无关，,向量求线性方程组的通解。六、证明题（每题5分，共10分）1．已知均为阶对称阵，证明：，证明：矩阵的秩。2．三阶方阵。线性代数（07）B解答一、FFTTFT二、CCC三、__2____；或；特征值为，特征向量为。四、计算下列各题（每题8分，共32分）1解：2．解：所以该向量组的秩为3，而线性无关，为其一个极大无关组。3．解：线性方程组的增广矩阵为当当，即时，线性方程组有唯一解；时，或a=1,b≠1/2时，线性方程组无解；当a=1,b=1/2时，，线性方程组有无穷多个解，此时线性方程组的通解为,k∈R。4．解：二次型的矩阵为其特征值为解解，得，得所对应的特征向量为所对应的特征向量为三个特征向量是相互正交的。正交变换矩阵为，标准型为五、1．解：由得，知，的特解可逆，且，。2．解：由得线性方程组。由而线性无关，，知，线性方程组。的基础解系含有个解向量。的基础解系为的通解为。六、1．证明：2．证明：由三阶方阵得，故。若即，则的基础解系只含有一个解向量，但，为的解。但，的秩为2，即的基础解系至少含有两个解向量，矛盾。故。线性代数B试题（A卷）2006.1.8一、下列各题是否正确？若正确在括号内打“√”，否则打“×”（共计10分）1．若两矩阵2．若向量组{的乘积，则一定有或。----------（）}线性相关，则{}也线性相关。---（）3．若是一个阶方阵且线性方程组有解，则。--------（）4．若5．若都是阶方阵，则。------------------------------------（）是方阵的一个特征值，则一定是不可逆的。------------（）二、单项选择题（每小题3分，共计15分）1．若矩阵(A).2；的秩为1,则的取值为【】(B).；(C).6；(D)..2．若3阶方阵的行列式，则【】(A).；(B).－4；(C).；(D).3．若、是等价的阶方阵，则矩阵、一定满足【】(A).特征值相等；(B).秩相等；(C).行列式相等；(D).逆矩阵相等.4．若且，则方程组的基础解系中的向量个数是【】(A).；(B).；(C).；(D).5．若阶矩阵与相似，，是矩阵的对应于特征值的特征向量，那么矩阵的对【】应于特征值的一个特征向量为(A).；(B).；(C).；(D).三、填空题（每小题5分，共计20分）1．向量组的一个最大无关组是__。2．设，若3阶非零方阵满足，则__。3．设矩阵与相似，，则的行列式。4．设，，则矩阵有一个特征值。四、计算下列各题1．（10分）设，，，求。2．（12分）设向量，，，，，问：取何值时，向量可由向量组线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式。3．（15分）用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型。这个二次型是否是正定的？为什么？五、（每小题6分，共计18分）1．设都是4维列向量，且4阶行列式，，求4阶行列式。2．设，都是阶矩阵，且，问：齐次线性方程组与是否有非零的公共解？证明你的结论。3．已知线性方程组有无穷多解，其中，。是三阶矩阵，且，，分别是矩阵的对应于特征值，，的三个特征向量，求常数与矩阵。线性代数B试题解答一、×；×；×；√；√---------------------------------------10二、B；B；B；C；D-----------------------------------------15三、(1)．(3)．；(4)．四、；(2)．；--------------------------------20(1)．---------------------------------------------------1，------------------------------------------3-------------------------------------------8------------------------------------------9-----------------------------------------10用求出或直接求出得相应的分。(2)．是线性方程组的求解问题。增广矩阵所以，时有唯一的线性表示；时，唯一的线性表示为且时有多个线性表示。------6解方程得：-------------------------8）且时，线性表示为（--