控制系统的稳定性分析

控制系统的稳定性分析第一页，共六十页，2022年，8月28日25.1稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件

控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。

稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件，控制系统在实际应用中应用的首要前提就是系统必须稳定，对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。第二页，共六十页，2022年，8月28日3

如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。稳定的基本概念：

系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。第三页，共六十页，2022年，8月28日4在外界干扰的作用下，摆由原来的平衡点M偏到新的位置b。当外力去掉后，显然摆在重力的作用下，将围绕点M反复震荡，经过一定时间，当摆因受空气阻尼使其能量耗尽后，摆又停留在平衡点M。象这样的平衡点M就成为稳定的平衡点。对于一个倒摆，一旦离开了平衡点d，即使外力消失，无论经过多少时间，摆也不会回到平衡点d上来，对于这样的平衡点d，成为不稳定平衡点。第四页，共六十页，2022年，8月28日5

线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。设系统或元件的微分方程为：式中：x(t)—输入，y(t)—输出为常系数。将上式求拉氏变换，得(初始值不全为零）5.2系统稳定的充要条件第五页，共六十页，2022年，8月28日6+系数取决于初始条件的多项式

第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。这项相当于系统齐次微分方程的解。

上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。第六页，共六十页，2022年，8月28日7

前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。令系统的闭环传递函数含有个实数极点和对复数极点，则上式可改写为:第七页，共六十页，2022年，8月28日8

系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。

如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡；如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；上述两种情况下系统是不稳定的。

线性系统稳定的充要条件：第八页，共六十页，2022年，8月28日9

如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为随遇平衡状态和临界稳定状态属于不稳定。

稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。

注意：

稳定系统的极点分布图：第九页，共六十页，2022年，8月28日10稳定区不稳定区临界稳定S平面S平面的左半部是稳定区第十页，共六十页，2022年，8月28日11对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定的。对于二阶系统，

只有都大于零，系统才稳定（负实根或实部为负）。

对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。

各阶系统的稳定性分析：第十一页，共六十页，2022年，8月28日125.3代数稳定性判据劳斯稳定性判据设线性系统的闭环特征方程为：

则该系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数都不等于零；特征方程的各项系数的符号都相同；

此两项为必要条件。由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列的所有项均为正。第十二页，共六十页，2022年，8月28日13劳斯阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，…项系数组成，第二行为2，4，6，…项系数组成。劳斯阵的组成第十三页，共六十页，2022年，8月28日14这样可求得n+1行系数第十四页，共六十页，2022年，8月28日15

这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数的完整阵列呈现一个倒三角形。

为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行，并不改变稳定性结论。注意：第十五页，共六十页，2022年，8月28日16劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。劳斯稳定判据第十六页，共六十页，2022年，8月28日17【例5-1】：特征方程为：，试判断稳定性。[解]：劳斯阵为：稳定的充要条件为：

均大于零且第十七页，共六十页，2022年，8月28日18

已知一调速系统的特征方程式为【例5-2】试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。第十八页，共六十页，2022年，8月28日19劳斯判据特殊情况之一

劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零

[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。第十九页，共六十页，2022年，8月28日20【例5-3】：令则故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。试用劳斯判据判别系统的稳定性。列劳斯表

已知一系统的闭环特征方程式为第二十页，共六十页，2022年，8月28日21劳斯判据特殊情况之二劳斯表中出现全零行

则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为：第二十一页，共六十页，2022年，8月28日22列劳斯表由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根显然这个系统处于临界稳定状态。【例5-4】：第二十二页，共六十页，2022年，8月28日235.3.2劳斯判据的应用

稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线的距离.可判断稳定程度.用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。例5-5第二十三页，共六十页，2022年，8月28日24解：列劳斯表第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令代入特征方程：式中有负号，显然有根在的右方。列劳斯表：第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。第二十四页，共六十页，2022年，8月28日255.3.3赫尔维茨（Hurwitz)稳定性判据以4阶系统为例使用赫尔维茨判据赫尔维茨行列式为：系统稳定的充要必要条件是：主行列式及其对角线上的各子行列式均有正值。即：第二十五页，共六十页，2022年，8月28日26有时称为赫尔维茨行列式。由于这个行列式直接由系数排列而成，规律简单而明确，使用也比较方便。但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，较少应用。【例5-6】：设控制系统的特征方程为：，试用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。[解]：首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。各系数排列成如下的行列式：第二十六页，共六十页，2022年，8月28日27由于：故系统稳定。

劳斯判据和赫尔维茨判据都是利用特征根与系数的关系来判别稳定性的，它们之间有一致性，所以有时侯，称为劳斯-赫尔维茨判据。又由于它们的判别式均为代数式，故又称这些判据为代数判据。劳斯判据和赫尔维茨判据对于带延迟环节等系统形成的超越方程式无能为力，这是代数判据的局限性，而下面介绍的乃魁斯特稳定性判据能够判别带延迟环节系统的稳定性，应用更为广泛。第二十七页，共六十页，2022年，8月28日28劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用

判定控制系统的稳定性[例5-7]系统的特征方程为：，判断系统的稳定性。[解]：排列劳斯阵如下：因为，，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。第二十八页，共六十页，2022年，8月28日29[例5-8]系统的特征方程为：该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。[解]：劳斯阵如下

行全为零。由前一行系数构成辅助方程得其导数为：将4,48或1,12代替行，可继续排列劳斯阵如下：

因为行全为零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：

由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定第二十九页，共六十页，2022年，8月28日30设剩余的一个根为-p。则：，整理得：比较系数得：-p=-2极点分布如下：注意：劳斯判据实际上只能判断代数方程的根是在s平面左半闭平面还是在右半开平面。对于虚轴上的根要用辅助方程求出。若代数方程有对称于虚轴的实根或共轭复根，则一定在劳斯表的第一列有变号，并可由辅助方程求出。第三十页，共六十页，2022年，8月28日31

主要内容幅角定理奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据的应用在伯德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性

奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。

奈魁斯特稳定判据是(H.Nyquist)于1932年提出，于1940年后得到广泛应用。5.4奈魁斯特(Nyquist)稳定性判据第三十一页，共六十页，2022年，8月28日32

奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用曲线，进而分析闭环系统的稳定性。奈魁斯特稳定判据在工程上获得了广泛的应用：

1）系统的某些环节的传递函数无法用分析法列写时，可用实验方法获得这些环节的频率特性；整个系统的开环频率特性也可用实验获得，这样就可分析闭环后的稳定性。

2）奈魁斯特稳定判据还能指出系统的稳定储备，即系统的相对稳定性以及进一步提高和改善系统动态性能指标的途径。第三十二页，共六十页，2022年，8月28日33奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilityCriterion)原理图5-4-1闭环系统结构图闭环传递函数为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数的极点或零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。系统稳定的充要条件第三十三页，共六十页，2022年，8月28日34奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与闭环特征方程在右半s平面内极点数联系起来的判据，这种方法无须求出闭环极点，从而得到广泛应用。奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映射基础上的。第三十四页，共六十页，2022年，8月28日355.4.1预备知识可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何一个奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如：考虑下列开环传递函数：第三十五页，共六十页，2022年，8月28日36其特征方程为：函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应，则为：这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。例如第三十六页，共六十页，2022年，8月28日37图5-4-2s平面上的图形在平面上的映射上半s平面内的直线和在平面上的变换

第三十七页，共六十页，2022年，8月28日38001）当s平面上的图形包围两个的极点时，-1和-2的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次第三十八页，共六十页，2022年，8月28日39002）s平面上的图形包围包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围原点一次，

3）封闭曲线既不包围零点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点

第三十九页，共六十页，2022年，8月28日40ABFEDCA1B1F1E1D1C14）当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，的轨迹将不包围原点。

相应的第四十页，共六十页，2022年，8月28日415）如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点相应的封闭曲线不包围

上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳定判据正是建立在映射定理的基础上。(k=0,1,2…)，即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，平面上，的原点。第四十一页，共六十页，2022年，8月28日42映射定理设为两个s的多项式之比，并设P为

的极点数，的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，的任何极点和零点。于是，s平面上的这一平面上，也是一条封闭曲线。平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数R等于Z-P。且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不在Z为封闭曲线映射到通过当变量s顺时针通过封闭曲线时第四十二页，共六十页，2022年，8月28日43若R为正数，表示的零点数超过了极点数；的极点数超过了零点数。若R为负数，表示开环传递函数与闭环传递函数的关系：开环传递函数的含义：第四十三页，共六十页，2022年，8月28日44很容易确定的极点数（P）。因此，如果，的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数在控制系统应用中，由很容易确定。而

零点正是闭环系统的极点。闭环传递函数第四十四页，共六十页，2022年，8月28日45影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用

为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个轴到

该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了)和右半s平面上半径为无穷大的的所有正实部的极点和零点。(从半圆轨迹构成。第四十五页，共六十页，2022年，8月28日46对原点的包围情况可用

对-1+j0包围情况同样说明。说明：则在右半s平面不存在闭环极点，因而系统是稳定的。如果在右半s平面不存在零点，第四十六页，共六十页，2022年，8月28日47图5-4-3s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨迹对-1+j0点的包围第四十七页，共六十页，2022年，8月28日48这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺时针包围的次数函数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半s平面内的极点数如果函数在右半s平面内无任何极点，则因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。第四十八页，共六十页，2022年，8月28日49含有位于原点上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从运动到，从到，变量沿着半径为）的半圆运动，再沿着正轴从运动到（运动时，最后顺时针沿无穷大半圆运动。第四十九页，共六十页，2022年，8月28日50对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。当s平面上的时，的相角例如，考虑开环传递函数：第五十页，共六十页，2022年，8月28日51例5-3设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，即P=0，并且的轨迹不包围，所以对于任何的K值，该系统都是稳定的。Z=R+P=0+0=0，即R=0第五十一页，共六十页，2022年，8月28日52例5-3中的极坐标图

第五十二页，共六十页，2022年，8月28日53例5-4设系统具有下列开环传递函数：试确定以下两种情况下，闭环系统的稳定性：增益K较小增益K较大。小K值时系统是稳定的

大K值时是不稳定的

第五十三页，共六十页，2022年，8月28日54例5-5设开环传递函数为：该系统的闭环稳定性取决于和相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。

的轨迹不包围系统是稳定的