2018版高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案版4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE16学必求其心得，业必贵于专精1.学习目标1。了解角的概念.2。掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义。3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．知识点一角的相关概念思考1用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？思考2将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向?思考3如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1）角的概念：一个角可以看成平面内____________绕着________O从一个位置OA________到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点,射线OA，OB分别是角α的________和________．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按________方向旋转所形成的角叫做正角负角按________方向旋转所形成的角叫做负角零角如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角,叫做零角知识点二象限角、轴线角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的________(除端点外）在第几象限,就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角．知识点三终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°,420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角?梳理终边相同角的表示一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个________的和．类型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法:①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角;③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________；(把正确命题的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________．反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°~90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．跟踪训练1写出下列说法所表示的角．(1）顺时针拧螺丝2圈；（2）将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．类型二象限角的判定例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°;（2)650°；（3）－950°15′。引申探究确定eq\f(α,n)(n∈N*)的终边所在的象限．反思与感悟判断象限角的步骤：（1）当0°≤α<360°时,直接写出结果．（2）当α〈0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β（k∈Z，0°≤β〈360°),转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2下列各角分别是第几象限角?请写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β〈720°的元素β写出来．(1)60°；(2）－21°.类型三终边相同的角eq\x（命题角度1求与已知角终边相同的角）例3在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角．(1）最大的负角；(2)最小的正角；(3）[360°，720°)的角．反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪训练3写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．eq\x（命题角度2求终边在给定直线上的角的集合）例4写出终边在直线y＝－eq\r(3)x上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x〈0两种情况讨论,最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝eq\f（\r（3),3)x上的角的集合．类型四区域角的表示例5如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；（2)写出终边落在阴影部分（包括边界)的角的集合．反思与感悟解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．跟踪训练5如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．1．－1120°角所在象限是________．2．与－457°角终边相同的角的集合是________．3．2017°是第________象限角．4．与－1692°终边相同的最大负角是________．5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.1．对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负",“旋转幅度”决定角的“绝对值大小"．2．关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意:（1)α为任意角．(2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α）．(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4）k∈Z这一条件不能少．

答案精析问题导学知识点一思考1角的构成要素有始边、顶点、终边．思考2有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考3不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理（1)一条射线端点旋转始边终边（2）逆时针顺时针知识点二思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边知识点三思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°,420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z）．梳理周角题型探究例1（1）①(2)－120°跟踪训练1（1)－720°(2）900°例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°,所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°,所以在0°~360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．引申探究解一般地，要确定eq\f(α，n）所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线,它们与坐标轴把周角分成4n个区域,从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2,3,4,…，4n,标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，eq\f（α,n）的终边所落在的区域,如此，eq\f(α，n）所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．跟踪训练2解(1）60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β｜β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β〈720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°。（2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°,k∈Z｝，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.例3解与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z),（1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°。（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°,得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3）由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°,解得k＝－26，故所求的角为β＝670°。跟踪训练3解由终边相同的角的表示知,与角α＝－1910°终边相同的角的集合为｛β|β＝k·360°－1910°，k∈Z｝．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z）,∴3eq\f(11，36)≤k＜6eq\f(11，36）（k∈Z),故取k＝4,5,6。当k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；当k＝5时,β＝5×360°－1910°＝－110°;当k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°。例4解｛α｜α＝120°＋n·180°，n∈Z｝跟踪训练4解终边在y＝eq\f(\r(3)，3）x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝eq\f（\r（3),3）x(x〈0）上的角的集合是S2＝｛α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z｝．因此,终边在直线y＝eq\f(\r（3)，3）x上的角的集合是S＝S1∪S2＝｛α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z｝∪{α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z｝，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°,k∈Z｝∪｛α｜α＝30°＋(2k＋1）·180°,k∈Z｝＝｛α|α＝30°＋n·180°，n∈Z｝．故终边在直线y＝eq\f(\r（3），3)x上的角的集合是S＝｛α|α＝30°＋n·180°，n∈Z｝．例5解（1)终边落在射线OA上的角的集合是｛α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．（2)终边落在阴影部分（含边界)的角的集合是{α｜k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．跟踪训练5解设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成：①{α｜k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z};②｛α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z｝．∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z｝∪{α|k·360°＋210°≤α〈k·360°＋285°，k∈Z}＝｛α｜2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°,k∈Z｝∪{α|（2k＋1）180°＋30°≤α〈（2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝｛α｜2k·180°＋3