由一个三角函数值求其他三角函数值-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

同角三角函数的基本关系第2课时导入新课问题1

我们学习了哪些同角三角函数的基本关系式？它有哪些变式？（2）变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；（1）同角关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝

．

sinα＝cosαtanα；cosα＝

．

新知探究问题2

sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子之间有什么关系呢？(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．新知探究追问：若已知sinα－cosα＝

，π＜α＜

，如何求tanα呢？

sinα－cosα＝

＜0①

将①式两边平方得sinαcosα＝

，

所以sinα＜0，cosα＜0，又∵π＜α＜

，

故sinα＋cosα＜0，∴sinα＋cosα＝

②

∴tanα＝

．

由①＋②式得，

新知探究因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0．问题3

如何化简

，其中α是第二象限角呢？

故

新知探究追问：通过问题3，你能总结化简过程中常用的方法吗？（1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．新知探究问题4

如何证明

？

分析等式的左右两端，发现利用平方关系可以证明．因为sin2α＋cos2α＝1，由已知可知cosα≠0，且1－sinα≠0，把①式的两端同除以cosα(1－sinα)，所以cos2α＝1－sin2α＝(1－sinα)(1＋sinα)①得

．

新知探究追问：证明等式有哪些常用方法？（1）从一边开始，证得它等于另一边．（2）证明左右两边都等于同一个式子．（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．例1

已知tanα＝

，求下列各式的值．初步应用

（1）（2）4sin2α－3cos2α．

（2）由4sin2α－3cos2α＝

（1）由题意知tanα＝

，

则

解析：初步应用已知tanα＝m，可以求

或

的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．

方法总结例2

（1）化简：初步应用

（2）化简：

，（0＜α＜

）．

（1）原式

解析：例2

（1）化简：初步应用

（2）化简：

，（0＜α＜

）．

（2）原式

所以

＞0，

＞0，

初步应用利用同角三角函数关系化简的常用方法：①化切为弦，减少函数名称，便于约分化简．②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值表示，然后考虑正负．③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简．初步应用例3

求证：

简单的三角恒等式的证明思路：（1）从一边开始，证明它等于另一边．（2）证明左、右两边等于同一个式子．（3）逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．等式左边=

等式右边=故等式得证．归纳小结（1）对三角函数式化简的原则是什么？（2）利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，求sinα＋cosα或sinα－cosα的值时，

要注意什么？问题5

回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．（1）①使三角函数式的次数尽量低；③使三角函数的种类尽量少；⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号；⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．②使式中的项数尽量少；④使式中的分母尽量不含有三角函数；（2）要注意判断它们的符号．作业布置作业：教科书P142页，A组第3题，B组第1，2，3题．1目标检测B化简(1＋tan2α)cos2α＝（）A．0B．1C．2D．3解析：原式＝

cos2α＝cos2α＋sin2α＝1．

2目标检测Bsinαcosα＝

，且

，则cosα－sinα的值为（）A．C．D．B．

∴cosα－sinα＝±．

解析：∵(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2×

，

又

，故sinα＞cosα，

∴cosα－sinα＝

．

3目标检测若tan(π＋α)