直线交点与距离公式

1．两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的

就是方程组

的解；交点坐标第1页/共49页第一页，共50页。若方程组有唯一解，则两条直线

，此解就是

；若方程组

，则两条直线无公共点，此时两条直线

；反之，亦成立．相交交点的坐标无解平行第2页/共49页第二页，共50页。2．几种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝(2)点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

第3页/共49页第三页，共50页。(3)两条平行线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝

第4页/共49页第四页，共50页。在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式时应注意什么问题？

提示：(1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；(2)求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.

第5页/共49页第五页，共50页。答案：C第6页/共49页第六页，共50页。第7页/共49页第七页，共50页。答案：D第8页/共49页第八页，共50页。3．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是__________．答案：2x＋3y＋8＝0第9页/共49页第九页，共50页。第10页/共49页第十页，共50页。5．k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限．第11页/共49页第十一页，共50页。第12页/共49页第十二页，共50页。【例1】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．第13页/共49页第十三页，共50页。第14页/共49页第十四页，共50页。解法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.第15页/共49页第十五页，共50页。第16页/共49页第十六页，共50页。

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是：Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

第17页/共49页第十七页，共50页。变式迁移1

过两直线x＋2y－3＝0与2x－y－1＝0的交点，且与点P(0,0)的距离为1的直线方程为__________．答案：x＝1或y＝1第18页/共49页第十八页，共50页。【例2】已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．第19页/共49页第十九页，共50页。第20页/共49页第二十页，共50页。由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°.又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为x＝3或y＝1.第21页/共49页第二十一页，共50页。解法二：设直线l与l1、l2分别相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，两式相减得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5，①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②第22页/共49页第二十二页，共50页。

(1)本题也可以按题目的自然顺序要求设出l的方程，求出l与l1及l2的交点A、B，使|AB|＝5，求l.这种方法思路自然，但求解整理较难，而解法一采用数形结合，先求夹角再求直线的斜率和倾斜角，从方法上看较为简单．解法二技巧性较强，采用设而不求，设出交点坐标，利用整体思想处理问题，在一定程度上简化了运算过程．

第23页/共49页第二十三页，共50页。(2)这类题一般有下列三种情况，被两已知平行直线截得的线段为定长a的直线，当a小于两平行线间的距离时无解，当a等于两平行线间的距离时有唯一解，当a大于两平行线间的距离时，有且只有两解.

第24页/共49页第二十四页，共50页。变式迁移2

(2009·全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为则m的倾斜角可以是 (

)①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是__________．(写出所有正确答案的序号)第25页/共49页第二十五页，共50页。答案：①⑤第26页/共49页第二十六页，共50页。【例3】

(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．第27页/共49页第二十七页，共50页。甲第28页/共49页第二十八页，共50页。第29页/共49页第二十九页，共50页。乙第30页/共49页第三十页，共50页。已知两点A，B在直线l的异侧，可在l上找一点M使|MA|－|MB|为最大．方法是可先求出点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，连结A′B或(AB′)，设它与l的交点为M，则M即为所求．在直线l上找一点P到两定点A、B的距离之和最小，则P必在线段AB上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若到两定点A、B的距离之差最大，则P必定在AB的延长线上，或BA的延长线上，故将l异侧上的点利用对称性变为同侧的点第31页/共49页第三十一页，共50页。变式迁移3

直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 (

)A．x＋2y－1＝0

B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0第32页/共49页第三十二页，共50页。答案：D第33页/共49页第三十三页，共50页。【例4】求证：任意△ABC中，垂心H、重心G和外心I三点共线，并且HG＝2GI.证明：如下图，以直线AB为x轴，过点C且垂直于直线AB的直线为y轴，建立直角坐标系．第34页/共49页第三十四页，共50页。第35页/共49页第三十五页，共50页。第36页/共49页第三十六页，共50页。第37页/共49页第三十七页，共50页。本题充分利用直线方程、直线与直线的位置关系等知识，通过运算证明了平面几何中一个重要定理．在上述解答过程中，先根据条件建立适当的平面直角坐标系，使点用有序数对(坐标)表示，直线用方程表示．点是否在同一直线上等价于点的坐标是否都满足于同一个二元一次方程，求两条直线的交点等价于求两条直线的方程所组成的方程组的解等等．这些都充分体现了坐标法思想的本质，即通过数量关系去刻画几何关系.

第38页/共49页第三十八页，共50页。变式迁移4

如右图所示，已知P是等腰△ABC的底边BC上一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法证明：|PM|＋|PN|为定值．第39页/共49页第三十九页，共50页。证明：过点A作AO⊥BC，垂足为O，以O为原点，建立如右图所示的直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，A(0，b)，P(x1,0)，a，b为定值，x1为参数，－a≤x1≤a，∴AB的方程是bx－ay＋ab＝0，AC的方程是bx＋ay－ab＝0，第40页/共49页第四十页，共50页。第41页/共49页第四十一页，共50页。1．用解析法研究平面内两条直线的位置关系时，有平行、相交、重合三种．从方程的角度来说，对于两条直线的方程组成的方程组若有唯一解，则两直线相交；若无解，则两直线平行；若有无穷多个解，则两直线重合，反之亦然．第42页/共49页第四十二页，共50页。2．距离公式和中点坐标公式是解析几何中的两个重要工具，应用广泛．(1)通过距离与长度的计算可以解决三点共线问题、三角形面积计算问题、四边形形状判断问题，以及距离最值问题．(2)通过中点坐标公式与其他知识的有机结合，可以解决一系列的对称问题．第43页/共49页第四十三页，共50页。①点P(x0，y0)关于Q(a，b)的对称点的坐标为(2a－x0,2b－y0)．②点P(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，l⊥PP′且PP′的中点在直线l上，所以x′，y′满足的方程组为第44页/共49页第四十四页，共50页。由此可解得P′的坐标为(x′，y′)．③代点转移法是求已知直线关于轴l对称的直线方程的有效方法，应通过解题把握实质．第45页/共49页第四十五页，共50页。3．直线系方程具有某一个共同性质的一组直线叫做直线系，它的方程叫做直线系方程．(1)平行直线系：与Ax＋By＋C＝0平行的直线可以表示为Ax＋By＋m＝0(C≠m)(其中m为参数)；(2)垂直直线系：与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可以表示为Bx－Ay＋m＝0(其中m为参数)；

第46页/共49页第四十六页，共50页。(3)过两已知直线交点的直线系：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1与l2相交，则过l1与l2交点的直线可以写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，不包含l2)．第47页/共49页第四十七页，共50页。4．解析法即坐标法，就是用代数的方法研究平面几何问题．其实质就是在几何图形上建立适当的坐标系，使点用坐