用matlab计算微积分

在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，可以是符号常量、符号变量、符号表达式等。符号对象是一种数据结构。符号对象与符号表达式

含有符号对象的表达式称为符号表达式，Matlab在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别。第1页/共40页第一页，共41页。

1.符号对象和表达式Sym和Syms函数基本格式:Sym(数字);sym(‘变量或者表达式’）实验1：（1）a=sqrt(5)

（2）a=sym(5)b=sqrt(a)

实验2：（1）x=sym(‘x’)

（2）a=sym(‘x*2+1’)第2页/共40页第二页，共41页。

注意:对于多个符号变量的建立,可使用’sym’,’syms’命令建立。

实验3：定义方程x+y+z=1中的变量为符号变量（1）x=sym(‘x’)y=sym(‘y’)z=sym(‘z’)（2）symsxyz第3页/共40页第三页，共41页。

查找符号表达式中的符号变量查找符号变量findsym(expr)

按字母顺序列出符号表达式expr

中的所有符号变量findsym(expr,N)

列出expr

中离x

最近的N

个符号变量常量pi,

i,

j

不作为符号变量第4页/共40页第四页，共41页。例：f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a')findsym(f)

f=sym(f,2)findsym举例第5页/共40页第五页，共41页。符号表达式的替换subs(f,x,a)用a

替换字符函数

f

中的字符变量x

a

是可以是数/数值变量/表达式或字符变量/表达式若x

是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵，则a

应该具有与x

相同的形状的数组或矩阵。

用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量第6页/共40页第六页，共41页。subs举例>>

f=sym('2*u');>>

subs(f,'u',2)>>

f2=subs(f,'u','u+2')ans=4f2=2*(u+2)

例：指出下面各条语句的输出结果f=2*u第7页/共40页第七页，共41页。六类常见符号运算

因式分解、展开、合并、简化及通分等

计算极限

计算导数

计算积分

符号求和

代数方程和微分方程求解第8页/共40页第八页，共41页。因式分解

因式分解factor(f)symsx;f=x^6+1;factor(f)

factor

也可用于正整数的分解s=factor(100)factor(sym

大整数的分解要转化成符号常量第9页/共40页第九页，共41页。函数展开

函数展开expand(f)>>

symsx;f=(x+1)^6;>>

expand(f)

多项式展开

三角函数展开>>

symsxy;f=sin(x+y);>>

expand(f)第10页/共40页第十页，共41页。合并同类项

合并同类项collect(f,v):按指定变量v进行合并collect(f):按默认变量进行合并>>

symsxy;

>>

f=x^2*y+y*x-x^2+2*x;>>

collect(f)>>

collect(f,y)第11页/共40页第十一页，共41页。函数简化

函数简化y=simple(f):

对f

尝试多种不同的算法进行简化，返回其中最简短的形式第12页/共40页第十二页，共41页。函数简化

函数简化y=simplify(f):

对f

进行简化

symsx;f=sin(x)^2+cos(x)^2;simplify(f)第13页/共40页第十三页，共41页。函数简化举例>>

symsx;

>>

f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);>>

y1=simplify(f)>>

g1=simple(f)>>

g2=simple(g1)

多次使用simple

可以达到最简表达。例：简化第14页/共40页第十四页，共41页。分式通分

函数简化[N,D]=numden(f):

N

为通分后的分子，D

为通分后的分母>>

symsxy;

>>

f=x/y+y/x;>>

[N,D]=numden(f)第15页/共40页第十五页，共41页。2.极限问题2.1单变量函数的极限调用格式为：limit(f,x,a)limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,‘right’)或

limit(f,x,a,'left')第16页/共40页第十六页，共41页。解：第17页/共40页第十七页，共41页。symsxab;f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x);

L=limit(f,x,inf)第18页/共40页第十八页，共41页。symsx;f=(exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x))));L=limit(f,x,0,'right')第19页/共40页第十九页，共41页。2.2多变量函数的极限调用格式为：L=limit(limit(f,x,x0),y,y0)或L=limit(limit(f,y,y0),x,x0)第20页/共40页第二十页，共41页。symsxya;f=exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)第21页/共40页第二十一页，共41页。

3.不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数求函数f对变量x的不定积分。第22页/共40页第二十二页，共41页。例4求不定积分解：第23页/共40页第二十三页，共41页。例4求不定积分symsxf=sqrt(x^2+x^4);int(f,x)第24页/共40页第二十四页，共41页。例5求不定积分symsxyzint(sin(x*y+z),z)第25页/共40页第二十五页，共41页。在MATLAB中，求定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x,a,b)int函数求函数f对变量x的定分,a,b积分区间。

4.定积分第26页/共40页第二十六页，共41页。symsx;int(1/(3+2*x+x^2),x,0,1)int(1/(3+2*x+x^2),x,-inf,inf)第27页/共40页第二十七页，共41页。symsxt;f=(-2*x^2-3*x+1)/(2*x^2-3*x+1)^2;int(f,x,cos(t),exp(-2*t))第28页/共40页第二十八页，共41页。5.导数MATLAB中的一元函数求导：

diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量x的n阶导数。第29页/共40页第二十九页，共41页。symsx;y=sin(x)/(x^2+4*x+3);y1=diff(y,x,4)pretty(y1)第30页/共40页第三十页，共41页。例9在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。symsx;y=x^3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4第31页/共40页第三十一页，共41页。MATLAB中的二元函数求导：

diff(diff(f,x,m),y,n)diff(diff(f,y,n),y,m)

第32页/共40页第三十二页，共41页。symsxy;z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);diff(z,x)diff(diff(z,x),y)第33页/共40页第三十三页，共41页。symsxyz;f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);diff(diff(diff(f,x,2),y),z)第34页/共40页第三十四页，共41页。级数展开单变量函数的Taylor级数展开

注1

k为需要展开的项数，默认值为6项。第35页/共40页第三十五页，共41页。symsx;f=sin(x)/(x^2+4*x+3);y1=taylor(f,x,9)y2=taylor(f,x,9,2)第36页/共40页第三十六页，共41页。符号方程求解器s=solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解；s=solve(f)：求方程关于默认自变量的解。

f

可以是用字符串表示的方程，或符号表达式；若f

中不含等号，则表示解方程f=0。

solve例：解方程

x^3-3*x+1=0symsx;f=x^3-3*x+1;s=solve(f,x)第37页/共40页第三十七页，共41页。

solve

也可以用来解方程组solve(

f1,f2,...,fN,v1

,v2

,...,vN)求解由f1,f2,...,fN

确定的方程组关于v1

,v2

,...,vN

的解例：解方程组>>

[x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3',...

'x^2+3*y^2=28','x','y','z')输出变量的顺序要书写正确！第38页/共40页第三十八页，共41页。solve在得不到解析解时，会给出数值解。例：解方程组[x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3',...

'x^5+3*y^2=28','x','y','z')第39页/