正方形公开课

温故知新:定义边角对角线对称性平行四边形

矩形

菱形

几种特殊四边形的定义及性质对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边都相等对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角相等，邻角互补对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形轴对称图形、中心对称图形

轴对称图形、中心对称图形两组对边分别平行的四边形有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形第1页/共17页第一页，共18页。探究一矩形怎样变成正方形呢？正方形第2页/共17页第二页，共18页。探究（二）菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形第3页/共17页第三页，共18页。探究小结矩形〃〃正方形邻边相等〃〃发现1：有一组邻边相等的矩形是正方形。

菱形一个角是直角正方形∟发现2：有一个角为直角的菱形是正方形。正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。第4页/共17页第四页，共18页。平行四边形矩形菱形正方形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？第5页/共17页第五页，共18页。拓展讨论讨论1：正方形的边、角、对角线各具有那些性质?讨论2：正方形是轴对称图形吗?它有几条对称轴？ABCDO讨论3：正方形是中心对称图形吗?第6页/共17页第六页，共18页。正方形性质边角对角线对称性图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8既是轴对称图形又是中心对称图形12345678第7页/共17页第七页，共18页。例1

求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知、求证第三步：进行证明ADCBO

已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.第8页/共17页第八页，共18页。ADCBO

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论:结论：

分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD

；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.第9页/共17页第九页，共18页。例2如图，点E是正方形ABCD内的一点，且AE=EB=AB，求∠CDE的度数。证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=

AD

，∠BAD=∠ADC=

90

°∵AE=EB=AB，∴△ABE是

等边

三角形，∴∠BAE=

60

°，∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=

30

°∵AE=AB，AB=AD，∴AE=

AD

。∴∠ADE=∠AED=

75

°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=

15

°分析:利用正方形四条边都相等，四个角都是直角的性质,

可以证得△ABE是等边三角形，△ADE是等腰三角形，求出相关角的度数，从而算出∠CDE的度数第10页/共17页第十页，共18页。例3已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=

90°

，AO=

DO

（

正方形的两条对角线互相垂直平分且相等

）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠

FDO

+∠

AEO

=90°．∴∠EAO=∠FDO

．∴△AEO≌△

DFO

（ASA）．∴OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，利用正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．第11页/共17页第十一页，共18页。随堂练习2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形．（）1．正方形的四条边

，四个角

，两条对角线

．相等互相垂直平分且相等都是直角对对错错错3．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°；∵△EBC是等边三角形，∴EB=BC，∠EBC=∠ECB=60°；∴∠ECD=∠BCD-∠ECB=30°；∠EBA=∠ABC-∠EBC=30°∵AB=BC，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=75°；∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=15°第12页/共17页第十二页，共18页。当堂检测1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．2．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．第13页/共17页第十三页，共18页。（1）正方形是怎样的平行四边形？有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形；（2）正方形是怎样的矩形？有一组邻边相等的矩形；（3）正方形是怎样的菱形？有一个角是直角的菱形；知识再现：⑴对边平行边⑵四边相等⑶四个角都是直角角正方形⑷对角线相等互相垂直互相平分对角线平分一组对角小结归纳第14页/共17页第十四页，共18页。作业习题18.2第12、15题第15页/共17页第十五页，共18页。谢谢第16页/共17页第十六页，共18页。谢谢您的观看！第17页/共17页第十七页，共18页。内容总结温故知新:。