江苏省南京市栟茶中学2021年高三数学理期末试卷含解析

江苏省南京市栟茶中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义域为R的函数为增函数，且函数为偶函数，则下列结论不成立的是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D2.若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是(

) A．10 B．11 C．13 D．14参考答案：D考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答： 解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，z=|x|+2y化为y=﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系，当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=1+2×5=11；当x＜0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=4+2×5=14．∴z=|x|+2y的最大值是14．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.正三角形的边长为，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A【知识点】多面体与球解析：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为=1由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=7π故选：A．【思路点拨】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．4.已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）?（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．5.函数在定义域R内可导，若，若则的大小关系是A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.已知向量，满足|2﹣3|=2，|3+2|=1，则当|+5|取最大值时，有=（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】向量的模．【分析】向量满足，可得+﹣12=4，+12=1．可得：++60=0．可得：cosθ=，令=k＞0，由cosθ∈[﹣1，0）．解得．可得：=﹣k．代入即可得出．【解答】解：向量满足，∴+﹣12=4，+12=1．即+16+48=4．化为：++60=0．可得：cosθ==，令=k＞0，由cosθ∈[﹣1，0）．解得．可得：=﹣k．==≤，则当取最大值时，8=，有=8．故选：C．7.sin2α=，，则cos（﹣α）的值为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题．【分析】表示出（sinα+cosα）2，利用完全平方公式展开后，利用二倍角的正弦函数公式化简sin2α后，再根据同角三角函数间的基本关系sin2α+cos2α=1，代入展开的式子中，求出（sinα+cosα）2的值，根据α的范围，开方可求出sinα+cosα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到结果为sinα+cosα，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=，且sin2α+cos2α=1，∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+=，又，∴sinα+cosα＞0，∴sinα+cosα=，则cos（﹣α）=（cosα+sinα）=sinα+cosα=．故选C【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．同时注意角度的范围．8.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】将图象上所有的点向左平行移动个单位长度得，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得，再利用诱导公式得出结果.【详解】先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得故选A【点睛】本题考查了正弦函数的图像变化和诱导公式，正确的掌握图像的平移变化和伸缩变化是解题的关键.9.设是等比数列的前项和，若，则（

）A．

B．

C．

D．或参考答案：B试题分析：，，选B.考点：等比数列公比10.甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如下表：则这四位同学的试验结果能体现出、两变量有更强的线性相关性的是（

）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。参考答案：；本题考查了同角三角函数的关系与正弦定理，容易题．由，在三角形中可得；再由正弦定理有：，即，可得．12.已知球O为正四面体ABCD的内切球，E为棱BD的中点，，则平面ACE截球O所得截面圆的面积为

．参考答案：∵球O为正四面体ABCD的内切球，AB=2，所以正四面体的体积为.设正四面体的内切球半径为r,则故内切球半径r=，平面ACE截球O所得截面经过球心，故平面ACE截球O所得截面圆半径与球半径相等，故S=πr2=，

13.已知，，若，或，则m的取值范围是_________。参考答案：略14.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．参考答案：13π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为=13π．故答案为：13π．15.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图①：将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图③，图③中直线与轴交于点，则的象就是，记作．下列说法中正确命题的序号是

（填出所有正确命题的序号）①②是奇函数③在定义域上单调递增④是图像关于点对称．参考答案：③④试题分析：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当时，的坐标为，直线的方程，所以点的坐标为，故，即①错；对于②，因为实数所在的区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性，故②错；对于③，当实数越来越大时，如图直线与轴的交点也越来越往右，即越来越大，所以在定义域上单调递增，即③对；对于④当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，再由图形可知的图象关于点对称，即④对，故答案为③④．考点：在新定义下解决函数问题．16.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，则A=____.参考答案：【分析】由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：.由故答案为：.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17.实数对满足不等式组则目标函数z=kx－y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．（1）求k的值，并求出的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?参考答案：（1）由，当n＝0时，由题意，可得k＝8，所以．（2）由．当且仅当，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元19.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（Ⅰ）如果点是椭圆W的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（Ⅱ）设为轴上一点，且，直线与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.参考答案：（Ⅰ）解：椭圆W的右焦点为，

………………1分因为线段的中点在y轴上，

所以点的横坐标为，

因为点在椭圆W上，将代入椭圆W的方程，得点的坐标为.

………………3分所以直线（即）的方程为或.……………5分（Ⅱ）证明：设点关于轴的对称点为（在椭圆W上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆W的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线.

………………7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则.由得，

………………9分所以，，.

………………10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为，

………………11分设直线，的斜率分别为，，则，………12分因为

，

………………13分所以，

所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称.

………………14分

略20.已知关于的二次函数.(1)已知集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)在区域内随机任取一点．求函数在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．参考答案：(1)∵a∈P，∴a≠0.∴函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－2，－1；若a＝2，则b＝－2，－1,1；若a＝3，则b＝－2，－1,1；若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；若a＝5，则b＝－2，－1,1,2.所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16.∴所求事件的概率为＝.(2)由条件知a>0，∴同(1)可知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域，为△OAB，所求事件构成区域为如图阴影部分．由得交点D，∴所求事件的概率为P＝＝.

21.如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，，且，.（Ⅰ）求证：MN∥平面BEC；（Ⅱ）求三棱锥的体积.参考答案：解：（Ⅰ）证明：过作交于，连接因为，，所以……2分又，所以故，……4分所以四边形为平