2022年高考艺术生专用数学讲义-第31讲数列求和常用方法（学生版）

第31讲数列求和常用方法

1、裂项相消法

裂项相消法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达

到求和的目的.通项分解（裂项）把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此规律拆成两项之

差，在求和时一些正负相消，适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂

项方法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，高考中常见以下几种类型。

常见的裂项技巧

类型①-----------r）

〃（几十k）Knn+k

类型②——-—广=7（，〃+左-Vn）

T11

类型③_________________=________________

'（2"+i+Z）（2"+Z）2n+k2"+,+k

2、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前几项

和即可用此法来求.4倍错位相减法：若数列｛c,J的通项公式其中｛%｝、也〃｝中一个是等差数

列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再

将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫q倍错位相减法.

温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.

2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.

3、倒序相加法，即如果一个数列的前“项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相

加法求数列的前〃项和.

4、分组求和法，如果一个数列可写成土/的形式，而数列｛。,｝,｛〃｝是等差数列或等比数列或可

转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.

题型一：分组求和

1.（2021•河南）已知等比数列｛q｝不是常数列，q=2,且2a2是6和%的等差中项.

（1）求｛可｝的通项公式；

（2）设"=a“+2〃+l,求数列｛a,J的前〃项和T”.

2.(2021•江苏姑苏•苏州中学高二月考)已知数列｛q｝是公差为1的等差数列，且卬，2，%成等比数

列.

(1)求数列｛勺｝的通项公式；

(2)记2=%+,求数列也｝的前〃项和7“.

3.(2021•全国高二专题练习)各项均为正数的等比数列｛4｝,%=1,4%=16,数列｛2｝的前〃项

和为S.,且s.=与土

(1)求数列｛凡｝,｛4｝的通项公式;

(2)若g=a“+b”,求数列｛%｝的前九项和求

题型二：倒序相加求和

1.(2021•全国高二期末)对任意xwR都有/(x)+/(l-x)=g.数列｛q｝满足:

4=/(0)+/(£|+/[£|+LL+,则为=.

2.(2021•全国)已知函数/(x)对任意的xwR,都有/(x)+/(l-x)=l,数列｛q｝满足

4,=/⑼+/(£|+惘+…

/(1).求数列的通项公式.

题型三：裂项相消求和

1.(2021•沙坪坝•重庆八中高三月考)已知5,是等差数列｛%｝的前〃项和，若%+为=29,54=aB.

(1)求数列｛4｝的通项公式％;

(2)记忆=——，求数列圾｝的前〃项和&

anan+\

2.(2021•曲靖市关工委麒麟希望学校高二期中)己知数列｛%｝(〃€")是公差不为0的等差数列，若4=1,

且出，4，如成等比数列.

(1)求｛%｝的通项公式;

1

(2)若b“=，求数列也｝的前〃项和

3.（2021西藏昌都市第三高级中学高二期末）在等差数列｛q｝中，S,,为其前n项和（“eN”）.若见=，S4=16.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设〃广一1—,求数列｛2｝的前〃项和

题型四：错位相减求和

1.（2021•陕西长安一中高二月考（理））设｛4｝是首项为1的等比数列，数列｛a｝满足伉=詈.已知4,

3%,9%成等差数列.

（1）求｛%｝和他｝的通项公式；

（2）记1为｛/｝的前〃项和,求却

2.（2021•河北•天津五十七中高三月考）等差数列｛&,,｝中，%=4,%+4=15.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）设2=（“工2）「数列也｝的前〃项和为S"，求证S.＜；；

（3）设c