2023年有理数知识点及易错常考题

海豚教育个性化教案第二章有理数〖知识点〗知识点一：正数和负数概念:比０小的数是负数,比０大的数是正数,0既不是正数，也不是负数注意:①字母ａ可以表达任意数，当a表达正数时，－a是负数;当a表达负数时,－a是正数；当ａ表达０时,-a仍是０。(假如出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数，这种说法是错误的,例如+ａ，－a就不能做出简朴判断)②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。典型例题:某人转动轮盘,假如用＋5圈表达沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈如何表达?知识点二:有理数的有关概念概念:⑴正整数、0、负整数统称为整数(０和正整数统称为自然数)⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。注意:引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了,像－2,-4,-６，-8…也是偶数,-1,－３,－5…也是奇数。典型例题：把下列各数填在相应的大括号里：5，,－3，,０，20２3，-35，６.２,-l.正数集合:{ﻩﻩ ﻩﻩ…}；负数集合：{ﻩﻩ ﻩ…};自然数集合：｛ ﻩﻩ …｝；整数集合:{ ﻩ ﻩ…}；分数集合:{ ﻩ ﻩﻩﻩ…};负分数集合：{ﻩ ﻩ…}．知识点三:有理数的分类概念：有理数的分类:①②总结:①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数典型例题：1、下列说法中对的的是………(）Ａ.非负有理数就是正有理数 B．零表达没有,不是自然数Ｃ．正整数和负整数统称为整数ﻩﻩD．整数和分数统称为有理数2、下列说法中不对的的是………………(）A．－３．１4既是负数，分数,也是有理数B．０既不是正数,也不是负数，但是整数Ｃ.－2023既是负数，也是整数，但不是有理数D.0是非正数知识点四:数轴概念:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。典型例题:在数轴上画出下列各点，它们分别表达:+3，0，-３，1,－３,-１.2５并把它们用“＜”连接起来知识点五:数轴上的点与有理数的关系概念:⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表达，正有理数可用原点右边的点表达,负有理数可用原点左边的点表达,0用原点表达。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表达出来,但数轴上的点不都表达有理数，也就是说,有理数与数轴上的点不是一一相应关系。（如，数轴上的点π不是有理数)典型例题:１、在数轴上，把表达3的点沿着数轴向负方向移动５个单位，则与此位置相相应的数是_＿__．2、与原点距离为２.5个单位长度的点有＿＿_＿个，它们表达的有理数是＿＿__.知识点六：绝对值与相反数概念:⒈绝对值的几何定义一般地,数轴上表达数ａ的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。2．绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它自身;⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶０的绝对值是0.可用字母表达为:①假如ａ＞0，那么|a|=a;②假如a＜0,那么|a|=-a；③假如ａ=0，那么|a|＝0。可归纳为①：ａ≥０，＜═>|a|＝a（非负数的绝对值等于自身；绝对值等于自身的数是非负数。）②a≤0,＜═>|a｜=-ａ(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)３.相反数定义:符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数，0的相反数是0典型例题:1、若｜x－2|+|y－3｜=０，则x=，y=。2、已知与互为相反数，求m的值.知识点七：有理数的加法和减法概念:有理数加法法则:(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;（2)异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(３）一个数与0相加,仍得这个数.有理数加法的运算律:(１)加法的互换律：a+b=ｂ+a；(２)加法的结合律:(ａ+b）+ｃ＝a+(ｂ＋c）.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达成化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”;⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数；即a-b＝a+（-b)．典型例题:⑴(+3.4１)-(－0.59）⑵⑶--+-+⑷(+0.125)-(-3)+（-３)-（-１０）-(+１.25)知识点八：有理数的乘法和除法概念:有理数的乘法法则:法则一:两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;法则二:任何数同0相乘,都得0;法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时,积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，假如其中有因数为０,则积等于0．有理数的乘法运算律：⑴乘法互换律:一般地，有理数乘法中,两个数相乘，互换因数的位置,积相等。即aｂ=ba⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab）ｃ=ａ(bc).⑶乘法分派律:一般地，一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a（b+c）＝ab+aｃ倒数乘积是１的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表达为a·＝1(a≠０），就是说a和互为倒数，即a是的倒数,是a的倒数。有理数的除法法则:（1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。(２）两数相除,同号得正，异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0典型例题:１、２、3、

知识点九：有理数的乘方概念:（1）求相同因式积的运算,叫做乘方；(2)乘方中，相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;有理数乘方的法则：(1）正数的任何次幂都是正数;（2）负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数；典型例题:计算:1、=_＿_＿_＿_____。２、＝___＿_____。3、计算:的值是()A.－ｌ２Ｂ.0C.－18Ｄ.1８知识点十:科学计数法概念:把一个大于10的数表达成的形式(其中，n是正整数)，这种记数法是科学记数法。有效数字：从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.典型例题：1、用科学记数法表达0.062５,应记作（)（Ａ)（Ｂ）（C）（D)2、1999年国家财政收入达成1１377亿元,用四舍五入法保存两个有效数字的近似值为（）（A）(B）(C)（Ｄ）知识点十一:有理数的混合运算概念:做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序:1.先乘方,再乘除,最后加减;2.同级运算,从左到右进行；３.如有括号,先做括号内的运算，按小括号,中括号,大括号依次进行。典型例题:（１）、(２）、(3)、〖易错常考题〗1．在下列各组中,哪个选项表达互为相反意义的量（)ﻩA．足球比赛胜5场与负5场 Ｂ．向东走3千米，再向南走3千米Ｃ.增产1０吨粮食与减产﹣1０吨粮食ﻩD.下降的反义词是上升2.下列说法错误的是（) A.负整数和负分数统称负有理数ﻩﻩ B.正整数,0,负整数统称为整数 Ｃ.正有理数与负有理数组成全体有理数ﻩﻩＤ．３.14是小数,也是分数3、把下面的有理数填在相应的大括号里：（★友情提醒：将各数用逗号分开)１5，，0，﹣30,0.１5，﹣12８，,＋20,﹣2.6正数集合﹛…﹜负数集合﹛…﹜整数集合﹛…﹜分数集合﹛…﹜4、(202３•绍兴）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm),刻度尺上的“0cm”和“15cｍ”分别相应数轴上的﹣3．6和x，则(） A.9＜x＜１０ B．10<ｘ<11 C.11<x＜1２ﻩ D.12＜x<13５、在数轴上，与表达数﹣1的点的距离是2的点表达的数是（)ﻩＡ．１ ﻩB.3 C．±２ ﻩD．1或﹣36、如图，数轴上的点A,B分别表达数﹣2和１,点C是线段AB的中点,则点C表达的数是(） Ａ．﹣0.５ B．﹣1.5ﻩ C．0ﻩﻩＤ．0.57、如图，数轴上的点Ａ、O、B、C、D分别表达﹣3,０，２.5,5,﹣6,回答下列问题.（１)O、B两点间的距离是.（2）A、D两点间的距离是．（３)C、Ｂ两点间的距离是.（4）请观测思考，若点Ａ表达数ｍ，且m＜0,点Ｂ表达数ｎ,且n＞0,那么用含m，n的代数式表达A、B两点间的距离是．８、若x的相反数是3，|ｙ｜=5,则ｘ+y的值为（)ﻩA．﹣8 B．2 ﻩC．8或﹣2ﻩﻩD.﹣8或29、若=﹣１，则a为（)ﻩA．ａ>0ﻩ B．a＜０ C.0＜a<1ﻩﻩＤ．﹣1＜a＜010、若ab＞0,则++的值为(）ﻩＡ.３ B．﹣1 C．±1或±３ D．3或﹣111、已知a是最小的正整数,b是最大的负整数，ｃ是绝对值最小的有理数,那么a+b＋|ｃ|等于()ﻩA.﹣1 B.0ﻩＣ．1 D．21２、已知|a|=3，|b｜=5，且ａb<0，那么ａ＋b的值等于（) A.8ﻩ B．﹣2ﻩ C．8或﹣８ﻩ D.２或﹣21３、已知a,ｂ，c的位置如图,化简：|ａ﹣ｂ|+|b+c|+|c﹣a|=.1４、用科学记数法表达9349０00（保存2个有效数字)为.１5、据国家记录局发布的《2023年国民经济和社会发展记录公报》显示,2023年我国国内生产总值约为256７00亿元,这个国内生产总值用科学记数法可表达为(