2023年最新版初中二次函数知识点汇总

★二次函数知识点汇总★1.定义：一般地,假如是常数，，那么叫做的二次函数．2.二次函数的性质3.二次函数的图像是对称轴平行于(涉及重合）轴的抛物线.４..5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③；④；⑤．６.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.②平行于轴(或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.７.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，假如二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.８．求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法:，∴顶点是，对称轴是直线.（3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证，才干做到万无一失★9.抛物线中,的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全同样.（3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，）：①,抛物线通过原点;②，与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.10．几种特殊的二次函数的图像特性如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴）(0,0)(轴）(０,)（,0)(,)()

11.用待定系数法求二次函数的解析式（1)一般式:．已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.（2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.12.直线与抛物线的交点(1)轴与抛物线得交点为（)(2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是相应一元二次方程①有两个交点抛物线与轴相交;②有一个交点(顶点在轴上）抛物线与轴相切;③没有交点抛物线与轴相离.(４)平行于轴的直线与抛物线的交点同（3)同样也许有０个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等,设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根．(５）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来拟定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点．(６)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根,故13．二次函数与一元二次方程的关系:（1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为０时的情况.(２)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数的图象与轴有交点时,交点的横坐标就是当时自变量的值,即一元二次方程的根.（３)当二次函数的图象与轴有两个交点时,则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时,则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时,则一元二次方程没有实数根1４.二次函数的应用:(1）二次函数常用来解决最优化问题,这类问题事实上就是求函数的最大(小)值;(2)二次函数的应用涉及以下方面:分析和表达不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小)值.1５.解决实际问题时的基本思绪:(1)理解问题;(2）分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表达出它们之间的关系;(4)运用二次函数的有关性质进行求解;(５)检查结果的合理性，对问题加以拓展等.二次函数知识点一、二次函数概念:1．二次函数的概念：一般地,形如（是常数，)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可认为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数的结构特性：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.⑵是常数,是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质:a的绝对值越大,抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时,随的增大而减小；时，有最小值.向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值．２.的性质:上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时,随的增大而减小；时，随的增大而增大;时，有最大值.3.的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=ｈ时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时，有最小值.向下X＝h时,随的增大而减小;时，随的增大而增大；时，有最大值．4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大;时，随的增大而减小；时,有最小值.向下Ｘ=h时,随的增大而减小；时，随的增大而增大;时，有最大值.三、二次函数图象的平移1.平移环节:方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式，拟定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处,具体平移方法如下:2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”．方法二:⑴沿轴平移：向上（下）平移个单位,变成(或）⑵沿轴平移：向左(右)平移个单位,变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者，即，其中.五、二次函数图象的画法五点绘图法：运用配方法将二次函数化为顶点式，拟定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)．画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点，与轴的交点,与轴的交点.六、二次函数的性质１.当时,抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时,有最小值.２．当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值.七、二次函数解析式的表达方法1．一般式：（,，为常数，);2.顶点式:（,,为常数，);3.两根式：（,，是抛物线与轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点，即时,抛物线的解析式才可以用交点式表达．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系１.二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然．⑴当时,抛物线开口向上,的值越大，开口越小，反之的值越小,开口越大;⑵当时,抛物线开口向下，的值越小,开口越小,反之的值越大，开口越大.总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小.2.一次项系数在二次项系数拟定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;当时，，即抛物线的对称轴就是轴;当时,，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下,结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧;当时，,即抛物线的对称轴就是轴;当时,，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来,在拟定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置．的符号的鉴定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”总结：3．常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负.总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之,只要都拟定，那么这条抛物线就是唯一拟定的.二次函数解析式的拟定：根据已知条件拟定二次函数解析式，通常运用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式,才干使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1．已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2．已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；４．已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；2.关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是;关于轴对称后，得到的解析式是;3.关于原点对称关于原点对称后,得到的解析式是;关于原点对称后，得到的解析式是;４.关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转18０°）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是.5.关于点对称关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式，习惯上是先拟定原抛物线(或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再拟定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况)：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离．②当时，图象与轴只有一个交点;③当时，图象与轴没有交点．当时，图象落在轴的上方,无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方,无论为任何实数，都有.2．抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为，；3．二次函数常用解题方法总结:⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程;⑵求二次函数的最大（小）值需要运用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号,或由二次函数中，,的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可运用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标．抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.⑸与二次函数有关的尚有二次三项式，二次三项式自身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:图像参考:

十一、函数的应用二次函数应用二次函数考察重点与常见题型考察二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中,如：已知认为自变量的二次函数的图像通过原点,则的值是综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考察两个函数的图像,试题类型为选择题,如：如图,假如函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大体是（)yyｙｙ110xo-1x０x0－１xＡBCD考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线通过(０，３），(４,６)两点，对称轴为,求这条抛物线的解析式。考察用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题,如:已知抛物线(a≠０)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与ｙ轴交点的纵坐标是-eq\ｆ(3,2)(1）拟定抛物线的解析式；(2)用配方法拟定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考察代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置拟定系数的符号例1（1)二次函数的图像如图1，则点在（)Ａ．第一象限Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限D．第四象限（2）已知二次函数y=ａx2+bx＋ｃ(ａ≠0）的图象如图２所示,则下列结论：①a、b同号;②当ｘ=1和x＝３时，函数值相等；③4ａ+b=0；④当ｙ=－2时,ｘ的值只能取0.其中对的的个数是()A．１个B．2个Ｃ．3个D．4个（1）(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数ａ,ｂ，c之间的关系，是解决问题的关键.例２.已知二次函数y＝ａx2+bｘ＋c的图象与x轴交于点(-2,O）、(x1，0),且1＜x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O,2）的下方．下列结论：①a<b＜0;②2a+c＞O;③４a＋ｃ<Ｏ;④２ａ-b+1>Ｏ，其中对的结论的个数为(）Ａ1个B．2个C.3个D．4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例３.已知:关于ｘ的一元二次方程ａｘ２+bx+ｃ=3的一个根为ｘ=-２，且二次函数y=ax2＋bx+ｃ的对称轴是直线ｘ=2，则抛物线的顶点坐标为（)Ａ（2，-３)B.（２，1)Ｃ（2,3)D．（3，2)答案：C例4、(2023年烟台市)如图(单位:m），等腰三角形ABC以２米／秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与ＣD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.（1）写出y与x的关系式；（2)当ｘ=２,３.5时,y分别是多少?（３）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=ｘ2＋x-.(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(２)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段ＡB的长.【点评】本题(１）是对二次函数的“基本方法”的考察，第(2)问重要考察二次函数与一元二次方程的关系.例６.已知：二次函数y=ａx2-(ｂ＋1）x-3a的图象通过点Ｐ(４，１0）,交x轴于，两点，交y轴负半轴于Ｃ点，且满足３ＡO=OＢ．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠ＡＣO?若存在,请你求出Ｍ点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.(1)解:如图∵抛物线交x轴于点A（ｘ1，0),Ｂ(x2,Ｏ)，则x１·x２=３<0,又∵x1<x2,∴ｘ2＞Ｏ,x1＜O，∵30A=OB，∴x2＝－3x１.∴x１·x2=-3ｘ12＝-3.∴x１2=1.x１<0,∴x1＝-１.∴.x2=3．∴点A(-1,O)，P（4,10)代入解析式得解得a＝2b=3∴.二次函数的解析式为ｙ－2x2-4ｘ-6．（2)存在点M使∠MＣ0<∠ACO.（2)解：点Ａ关于ｙ轴的对称点A’（1,O),∴直线Ａ，C解析式为y=６x－6直线Ａ'C与抛物线交点为(0,-６),(５,24).∴符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5.当点M的横坐标满足-１<x＜O或O<x<5时,∠MCO>∠ACO．例7、“已知函数的图象通过点Ａ（c，-２），求证:这个二次函数图象的对称轴是ｘ=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式?若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。(２)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（１）小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把本来的结论“函数图象的对称轴是x＝3”当作已知来用,再结合条件“图象通过点A(c，－2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以可以求出题中的二次函数解析式。对于第(2）小题，只要给出的条件可以使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。［解答]（1）根据的图象通过点A（c,－2)，图象的对称轴是ｘ=3,得解得所以所求二次函数解析式为图象如图所示。(2）在解析式中令y=0,得，解得所以可以填“抛物线与ｘ轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与ｘ轴的一个交点的坐标是令x=3代入解析式,得所以抛物线的顶点坐标为所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。函数重要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特性；借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例１已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形AＢＣDE(如图),其中AF=2，ＢＦ＝１.试在AB上求一点Ｐ，使矩形ＰＮDＭ有最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考察学生的综合应用能力.同时,也给学生探索解题思绪留下了思维空间．例２某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量ｙ（件）之间的关系如下表:x(元)15２030…y（件）252０10…若日销售量ｙ是销售价x的一次函数．(1）求出日销售量y(件)与销售价ｘ（元）的函数关系式;(２)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元?【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b．则解得k=-1，ｂ=40,即一次函数表达式为y=-ｘ+40.（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为ｗ元w=（x-10）(40-x）=－x2+５０x-４00=-（ｘ－２5）２＋２２５.产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为２25元.【点评】解决最值问题应用题的思绪与一般应用题类似,也有区别，重要有两点:(1)设未知数在“当某某为什么值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数；(２)问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程．例3.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、２．5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5ｍ,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示）(）A.1．５mB．１.625mC.1．６6mＤ．１.67m分析：本题考察二次函数的应用答案:B知识点一、平面直角坐标系 １，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和ｙ轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，ｂ)表达,其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时,(a，ｂ)和(b,a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特性1、各象限内点的坐标的特性点Ｐ(x,ｙ)在第一象限点P(x，ｙ)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(ｘ，y)在第四象限２、坐标轴上的点的特性点P(x,ｙ）在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上,ｙ为任意实数点Ｐ(x,y)既在x轴上，又在y轴上ｘ，y同时为零,即点Ｐ坐标为（0，０）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特性点P(x,ｙ）在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P（x，y)在第二、四象限夹角平分线上ｘ与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特性位于平行于ｘ轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于ｙ轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、ｙ轴或远点对称的点的坐标的特性点Ｐ与点ｐ’关于ｘ轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数点P与点ｐ’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:(1）点Ｐ(x，ｙ)到x轴的距离等于（２）点P(x,ｙ)到ｙ轴的距离等于（３）点Ｐ(x，ｙ)到原点的距离等于知识点三、函数及其相关概念１、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量ｘ与y，假如对于x的每一个值,y都有唯一拟定的值与它相应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表达函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数故意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表达法及其优缺陷（1)解析法两个变量间的函数关系,有时可以用一个具有这两个变量及数字运算符号的等式表达,这种表达法叫做解析法。(2)列表法把自变量ｘ的一系列值和函数ｙ的相应值列成一个表来表达函数关系,这种表达法叫做列表法。(3）图像法用图像表达函数关系的方法叫做图像法。４、由函数解析式画其图像的一般环节（1)列表：列表给出自变量与函数的一些相应值（2）描点:以表中每对相应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(３）连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，假如(ｋ，b是常数,k０）,那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数,k0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的重要特性：一次函数的图像是通过点（０，ｂ)的直线；正比例函数的图像是通过原点(0,0)的直线。ｋ的符号ｂ的符号函数图像图像特性k＞0b>０y０x图像通过一、二、三象限，y随ｘ的增大而增大。b<0ｙ0ｘ图像通过一、三、四象限，y随ｘ的增大而增大。Ｋ<0b＞0y0x图像通过一、二、四象限,y随x的增大而减小b<0y0x图像通过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质一般地,正比例函数有下列性质:(1）当k>0时,图像通过第一、三象限,y随x的增大而增大；(2)当k<0时，图像通过第二、四象限，ｙ随ｘ的增大而减小。5、一次函数的性质一般地，一次函数有下列性质:（１）当k＞0时，y随x的增大而增大（２）当ｋ<0时，ｙ随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的拟定拟定一个正比例函数,就是要拟定正比例函数定义式(k0)中的常数k。拟定一个一次函数，需要拟定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数1、反比例函数的概念一般地,函数（ｋ是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量ｘ0，函数y０,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。反比例函数的性质反比例函数k的符号k＞0ｋ<0图像yOｘyOx性质①x的取值范围是x０,y的取值范围是y0;②当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y随x的增大而减小。①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k＜0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,y随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的拟定拟定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数,因此只需要一对相应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而拟定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数图像上任一点P作ｘ轴、y轴的垂线PM，PN,则所得的矩形PMＯN的面积S=ＰＭPN＝。。知识点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，假如特，特别注意a不为零那么y叫做x的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。抛物线的重要特性:①有开口方向；②有对称轴;③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1）先根据函数解析式,求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(２）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与ｙ轴的交点Ｃ,再找到点C的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点Ｄ。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。假如需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-----一般两根三顶点(1)一般一般式：（2)两根当抛物线与x轴有交点时,即相应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。假如没有交点，则不能这样表达。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：知识点八、二次函数的最值假如自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值)，即当时，。假如自变量的取值范围是，那么,一方面要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内,则当x＝时,;若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性,假如在此范围内,y随x的增大而增大，则当时，，当时，；假如在此范围内,y随x的增大而减小，则当时，,当时，。知识点九、二次函数的性质１、二次函数的性质函数二次函数图像a＞0a<0y0xy０x性质(1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x＝,顶点坐标是(,）；(３）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时,ｙ随x的增大而增大,简记左减右增;(4)抛物线有最低点,当x=时，y有最小值，(１)抛物线开口向下，并向下无限延伸;(2）对称轴是x=,顶点坐标是（，);(3）在对称轴的左侧，即当x＜时，ｙ随x的增大而增大;在对称轴的右侧，即当x＞时，y随x的增大而减小,简记左增右减；(4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值,２、二次函数中,的含义：表达开口方向：>0时，抛物线开口向上＜０时，抛物线开口向下与对称轴有关:对称轴为x＝表达抛物线与y轴的交点坐标：（0,)3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其相应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的,在二次函数中表达图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当＝0时，图像与ｘ轴有一个交点;当<0时,图像与x轴没有交点。1、两点间距离公式（当碰到没有思绪的题时,可用此方法拓展思绪,以寻求解题方法）y如图:点A坐标为（x1，y1）点B坐标为(ｘ2,y２)则AＢ间的距离,即线段ＡB的长度为Ａ0ｘB2,二次函数图象的平移①将抛物线解析式转化成顶点式，拟定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:③平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移；值正上移，负下移”.函数平移图像大体位置规律（中考试题中，只占３分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间）特别记忆-－同左上加异右下减(必须理解记忆)说明①函数中ab值同号,图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Ｙ轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减直线斜率:ｂ为直线在y轴上的截距4、直线方程:①两点由直线上两点拟定的直线的两点式方程，简称两式:此公式有多种变形牢记②点斜③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:y=kx+ｂ(k≠0）=4\*GB3\*ＭERＧEＦＯＲMAT④截距由直线在轴和轴上的截距拟定的直线的截距式方程,简称截距式:牢记口诀---两点斜截距-－两点点斜斜截截距5、设两条直线分别为,::若，则有且。若点P（x０,y０）到直线y=kx+b(即：kx-y+b＝0）的距离:抛物线中,abc,的作用（１）决定开口方向及开口大小,这与中的完全同样.(2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时,对称轴为轴;②(即、同号）时,对称轴在轴左侧;③（即、异号)时,对称轴在轴右侧.口诀-－-同左异右（３）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0