例析中考新概念试题

例析中考新概念试题

一、试题概述

所谓新概念试题是指即时定义新概念、新公式、新运算、新法则、

新方法，这些都是同学们从未接触过的，要求同学们在解题时能够运

用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，现学现用，

其目的是考查同学们的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能

力，培养同学们自主学习、主动探究的数学品质，在一定程度上促进

教学方法和学习方法的转变.

新概念试题是历年各地中考数学试题中的一朵奇葩，以其清雅、

新颖的风格彰显出新课标中“由知识立意向能力立意”过渡的要求，

是同学们“可持续发展”理念的具体体现，同时也警示我们的初中数

学教学改变过去单一的教法和学法，重视同学们的数学阅读能力、数

学迁移能力，以及运用数学方法解决实际问题和应用能力上要有进一

步的突破.

纵观近几年全国各地中考数学试题，新概念试题通常占试题总

数的10%左右，而同学们解答这类试题的正确率却并不理想，另外

此类试题重视数学学习潜能的综合考查,且命题中常引入初中数学教

学中未曾见过的新概念，而这些新概念往往有着不可低估的作用.基

于这些原因，对新概念试题进行深层次、多方位的研究，并在毕业复

习中对同学们有意加强这方面的训练，就显得尤为重要.

二、试题例析

新概念试题要求同学们对给定的内容进行分析、研究、开发，然

后加以运用。解决这类问题的关键是读懂题意，确定探索方向，然后

运用归纳与类比的方法寻找合理的解题思路.简而言之，同学们必须

具备“给什么，用什么，怎么用”的能力.

1.定义“概念”

例1（2009年山东）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的

自然数（如，34,568,2469等）任取一个两位数，是上升数的概率

是_________

解：最小的两位数是10,最大的两位数是99,一共有90个两位数，

而在10〜19中，“上升数”有8个，在20〜29中，“上升数”有7

个，在30〜39中，“上升数”有6个；…；在90〜99中，“上升数”

有。个.因此在10〜99中“上升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.所

以任取一个两位数，是上升数的概率为P=^=2.

905

点评：这是一道边缘性的新概念试题，“上升数”是一种全新的、

特殊的概念，要同学们在全面、准确地理解这种新概念含义的基础上,

运用这种特殊概念去创造性地思考并解决问题;另此题也不同于以往

中考单纯考查概率的知识点，使试题得到巧妙的创新.

2.定义“运算”

例2（2009年定西）在实数范围内定义运算“㊉”，其法则为：

a®b^a2-b2,求方程（4©3）㊉x=24的解.

解：a㊉6=/一/，《㊉3）㊉x=（42-3?）㊉x=7㊉兀=72-/.

**•72—x2=24.**•x2=25.x=±5.

点评：将一个一元二次方程定义于新运算中，比直接给出一元二

次方程求解要有新意，给人耳目一新之感正所谓化腐朽为神奇.

3.定义“公式”

例3（2009年益阳市）阅读材料：如图，过△4BC的三个顶点分别

作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△A5C

的“水平宽”3）,中间的这条直线在△A3C内部线段的长度叫△A3C

的“铅垂高S）”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

S^^^ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半•

解答下列问题：

如图2,抛物线顶点坐标为点C（l,4）,交x轴于点4（3,0）,交y轴于

点B.

（1）求抛物线和直线A3的解析式；

（2）点尸是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结Ri,PB,当

尸点运动到顶点。时，求△C43的铅垂高CD及鼠.；

（3）是否存在一点P,使S△丛产"SMAB，若存在，求出尸点的坐标;

O

若不存在，请说明理由.

解：（1）设抛物线的解析式为:

%=a（x-1y+41分

把A(3,0)代入解析式求得〃=一1

所以V1=-(％-1)~+4=—X2+2x+3..............................3分

设直线AB的解析式为：W=kx+b

由必=--+2》+3求得B点的坐标为(0,3)........................4分

把A(3,0),8(0,3)代入为=—+8中

解得：k=-1,/?=3

所以为=-*+3.....................................................6分

(2)因为。点坐标为(1,4)

所以当x=l时，Ji=4,y2=2

所以。。=4-2=2.....................................8分

S.CAB=；x3x2=3(平方单位).............................10分

⑶假设存在符合条件的点P,设尸点的横坐标为X,△出3的铅

垂高为h,

贝！Jh—一乃=(-+2x+3)-(-x+3)=-+3x12分

I9

由SAPAB=~SACAB

o

得：—x3x(-x2+3x)=—x3

28

化简得：4x2-12x+9=0

解得，x=]

2

将x=T代入口=-x2+2x+3中，

解得尸点坐标为弓,?)................14分

点评:本题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公

式，并要求现学现用，总体来说本题难度不大.

4定义“点”

例4（2009年台州）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组

对边距离也相等的点叫凸四边形的阜内点.如图1,P"=,P/=PG,

则点P就是四边形ABCD的准内点.

（1）如图2,与"EC的角平分线FP,EP相交于点P.

求证：点P是四边形ABC。的准内点.

（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.

（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）

（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假

①任意凸四边形一定存在准内点.（）

②任意凸四边形一定只有一个准内点.（）

③若「是任意凸四边形A8CO的准内点，则PA+P8=PC+PD

或尸4+PC=P8+P£>.（）

解：（1）如图2,P^PGLAB,PH1BC,PI1CD,PJ1AD,

'/EP平分NDEC,/.PJ=PH..........3分

同理

PG=Pl.....................................................1分

是四边形"CO的准内点..............1分

...................................................................................................4分

平行四边形对角线AC,的交点片就是准内点，如图3（1）.

或者取平行四边形两对边中点连线的交点片就是准内点，如图3（2）；

梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点.

如图4.（3）真；真；假.

.......................................................................................................3分

点评：本题要求同学们对“准内点”定义进行准确的理解，并能

用新定义进行作图、证明，考了同学们的操作能力和演绎推理能力，

题型有证明、作图和填空，知识点有角平分线的性质、中心对称、梯

形中位线的性质，具有较强的综合性.

5.定义“线”

例5（茂名市2009）已知：如图，直线/：y=L+b,经过点一

3I4；

组抛物线的顶点4（1，%），4（2,为），纥（3,%），…，纥（〃，%）（〃为正整数）

依次是直线/上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：

A4%,。）,4（々，0），&（演,0）,…,A”+i（x“+i，°）（〃为正整数）,设％=d（0<d<1）.

（1）求b的值；（2分）

（2）求经过点八B：&的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）

(4分)

(3)定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直

角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.

探究：当d(O<d<l)的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽

抛物线？若存在，请你求出相应的d的值.(4分)

解：(1)M(02］在y=jx+6上，—x0+/??.*./>=—.......2分

I4)3434

(2)由(1)得:y=；x+；,VB/L%)在/上，

.,•当x=l时，=-xl+-=—,“1,工］...................3分

13412'I12J

•••设抛物线表达式为：y=a(x-l)2+j^(a*0),...............4分

又,：x、=d,.'.Am，。)，O=a(t/-1)2+—,：,a=-------不，5分

''1212(4-1)2

・•.经过点4、外外的抛物线的解析式为：

77

2

y=----------r(x-i)+—..................................6分

12(1-1)212

(3)存在美丽抛物线...................................7分

由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直

角顶点的等腰直角三角形，，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边

的一半，又・••等腰直角三角形斜边的长小于2,.•.等腰直

角三角形斜边上的高必小于1,即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.

.••美丽抛物线的顶点只有队员•.............................8分

①若用为顶点，由小总，则六.................9分

②若冬为顶点，由当卜与，贝心=1一（2-白］-1=生

综上所述，d的值为2或U时，存在美丽抛物线............10分

1212

点评：本题是一次函数和二次函数的综合题，在解题时，首先利

用抛物线的对称性,确定直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的

等腰直角三角形,再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形

的三线合一的性质，有一定的难度.

例6（2007年连云港市）如图1,点C将线段”分成芍部分，如果

—,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行

ABAC

课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄

金分割线”的定义：直线/将一个面积为S的图形分成两部分，这两

部分的面积分别为s，邑，如果*=*，那么称直线/为该图形的黄

金分割线.

（1）研究小组猜想：在AABC中，若点。为A8边上的黄金分割点（如

图2）,则直线CO是△ABC的黄金分割线.你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点

E,再过点。作直线。/〃CE,交AC于点尸，连接耳（如图3）,则

直线EF也是'ABC的黄金分割线.

请你说明理由.

（4）如图4,点E是平行四边形ABCD的边A8的黄金分割点，过点

E^EF//AD,交0c于点尸，显然直线ER是平行四边形ABCD的黄

金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经

过平行四边形ABCD各边黄金分割点.

解：（1）直线8是4ABC的黄金分割线.理由如下:

设△居0的边A8上的高为h.

S

^ADC=^ADxh,S^BDC=；BDxhrS^ABC=^ABxh,

所以，_AD,S2BDC_BD2分

S/XABC48S丛ADC4°

又因为点。为边钻的黄金分割点，所以有生器.因此

一_S&BDC•

S&ABC^AADC

所以，直线CD是△ABC的黄金分割线............4分

(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此

时S]=§2=L，即

2

豆所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割

SS]

线.................................................6分

(3)因为。尸〃CE,所以AC。尸和AED77的公共边DF边上的

高也相等，

所以有八四=5迎.

所以S.CD~SMEF,......................................................................................7分

同理S&CEF=SACE0

所以SABDC=S&BCE+SbCED=ABCE+$ACEF=S四边形BCFE,

又因为比ADC_S4BDC,所以S〉AEF_S四边形席尸。.........9分

^tXABCS&ADCS&ABCi\AEF

因此，直线EF也是△48C的黄金分割线.........10分

(4)画法不惟一，现提供两种画法；............12分

画法一：如答图，取"的中点G,再过点G作一条直线分别

交AB,0c于M,N点,则直线MN就是平行四边形ABCD

的黄金分割线.

画法二：如答图，在。尸上取一点N,连接EN,再过点E作

FM〃NE交AB于息M,连接MN,则直线就是平行四边形

ABCD的黄金分割线.

nNF

点评：第（1）小题是利用黄金分割点和黄金分割线的定义完成证明；

第（2）小题较简单，用定义说明不满足即可；第（3）小题是利用两

条平行直线距离处处相等和面积的等积变形来处理；问题（4）有点

发散，但我们用类比的数学思想方法应不难得到一种黄金分割线.

6.定义“形”

例7（2008年衢州市）如图，四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,

但ADHCD,我们称这样的四边形为“半菱形小明说“'半菱形’

的面积等于两条对角线乘积的一半”，他的说法正确吗？请你判断并

证明你的结论.

解：正确

证明如下：

方法一：设AC,BD交于O,VAB=AD,BC=DC,AC=AC,

A△ABCADC,

.\ZBAC=ZDAC

AB=AD,AAOIBD

S^ABD=5BD-AO,SABCD

•Q-Q-LQ

…"四边形ABCD—°AABD丁0ABCD

=-BD(AO+CO)」BD.AC

22

方法二：VAB=AD,

点A在线段BD的中垂线上

又.•.点C与在线段BD的中垂线上，

，AC所在的直线是线段BD的中垂线，即BD±AC；

设AC,BD交于O,7SAABD=，BDAO,SABCD-|BDCO

••—^AABD+^ABCD-yBD,AO+—BD-CO

=-BD(AO+CO)=-BDAC

22

点评：对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名词，是几何

图形类型的新概念命题.这类问题要求同学们能够灵活运用已掌握的

几何知识，解决题中设置的新问题此题就是要求同学们以现有的知识

水平，应用现有的数学思想方法，在一个全新的情境中思考问题，探

求问题的最终答案，进一步培养同学们思考问题和解决问题的能

力.其实本题的面积公式可以作更进一步的推广，只要是对角线垂直

的四边形，它的面积就是对角线乘积的一半.

例8(2010年北京市顺义区中考二模数学试题压轴题)

我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边

形.请解答下列问题：

(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名

称；

(2)如图1,在aABC中，AB=AC,点。在3C上，且CD=C4,点

E、F分别为3C、AQ的中点，连接EF并延长交43于点G.求

证：四边形AGEC是等邻角四边形；

(3)如图2,若点。在aABC的内部，(2)中的其他条件不变，EF

与。交于点〃.图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出

是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由.

图1

解：(1)矩形，等腰梯形；

(2)如图所示，连结AE,CF,

VAB=AC,E是BC的中点，

AAE1BC,又F是AD中点，

/.EF=AF=DF

/.ZFED=ZFDE

而CD=CA

/.ZFDE=ZCAD

/.ZFED=ZFDE=ZCAD

而AB=AC

・•・ZB=ZACB

，180°-ZB-ZFED=180°-ZACD-ZFDE

即NBGE=NCAD

/.ZBGE=ZCAD=ZFED

ZAGE=ZCEG

故四边形AGEC是等邻角四边形

（3）四边形AGHC是等邻角四边形

点评：2010年北京市顺义区中考二模数学试题保持了06、07年

北京市中考压轴题的风格，06年是等对角线四边形，07年是等对边

四边形，好在第（2）小题的证明不是很难，第（3）小题仍是猜想而

言，有兴趣的同学可以证明。

例9(2007年宁波市中考压轴题)四边形一条对角线所在直线上的点，

如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线c

的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距D//\

点.如图1,点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的

一点，PD=PB,PA^PC,则点P为四边形ABCD的准等距8

点.

⑴如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.

(2)如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图

痕迹，不要求写作法).

(3)如图4,在四边形ABCD中，P是AC上的点，PARPC,延长BP

交CD于点E,延长DP交BC于点F,且NCDF=NCBE,CE=CF.求

证：点P是四边形ABCD的准等距点.

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准

等距点的个数，不必证明).

解：(1)如图2,点P即为所画点................1分(答案不唯

一.画图正确，无文字说明不扣分；点P画在AC中点不给分)

D

A<S>C/

B

图2/图3

(2)如图3,点P即为所作点..............--3分(答案不唯一.作

图正确，无文字说明不扣分；无痕迹或痕迹D

不清晰的酌情扣分)

A

(3)连结DB,

B图4

在aDCF与aBCE中，

ZDCF=ZBCE,

ZCDF=ZCBE,

ZCF=CE.

/.ADCF^ABCE(AAS),..............................5分

/.CD=CB,

/.ZCDB=ZCBD...............................................6分

.,.ZPDB=ZPBD,..........................................7分

/.PD=PB,

VPA^PC

•••点P是四边形ABCD的准等距

点................................8分

（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一

对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0

个；...............................9分

②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角

线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1

个；...............................10分

③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分,且任何一条对

角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2

个；...........................11分

④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角

线时，准等距点有无数个.1分（.答案不唯一.画图正确，无文字

说明不扣分；点P画在AC中点不给

分）....................................................12

分

点评：本题是我们07年宁波市中考数学的压轴题，第（1）

小题是新定义的简单运用，根据准等距点的涵义和菱形对角线的

性质，从中发现菱形有无数个准等距点第（2）小题根据新定义的

涵义作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且

这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学,

从作图中不难发现一般的四边形准等距点可能为0、1、2,无数个

第（3）小题常中见新，利用新定义及三角形有关知识就可使命题

获证第（4）小题难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽

象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.

例10（2006年安徽省中考压轴题）如图（1）,凸四边形

ABCD，如果点P满足/APD=NAPB=a。且NBPC=ZCPD

=B,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.

（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点p,且满

足aWB。

（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P,保

留画图痕迹（不需写出画法）.

（3）若四边形ABCD有两个半等角点P］、P2（如图（2））,

证明线段P|P2上任一点也是它的半等角点。

图⑴图⑵

L)1)

图（3）图（4）

六、（本题满分12分）

21.解：（1）由抛物线>=-?+（m-l）x+m与）•箱交于（0.3）,得:m=3.

.,.触物线为y=-J+2x+3..............（3分）

图象吟..............（5分）

（2）由x*+2x+3=0,得阳=-1,.T,=3.

.•・抛物线与x轴的交点为（-1,6）,（3,0）..............（8分）

V）,=-x+2x+3=-（x1）:+4,

•••抛物线顶点坐标为（1,4）..............（10分）

（3）由图象可知：

当-l<x<3时，抛物线在x轴匕方...............（11分）

（4）曲曼象可知：

当工>1时,y的值随xffi的增大而减小.