广东省湛江市麻斜中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析

广东省湛江市麻斜中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下图是把二进制的数化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是

A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（其中x1＜x2＜x3），g（x）=3x+sin（2x+1），且函数f（x）的两个极值点为α，β（α＜β）．设λ=，μ=，则（）A．g（a）＜g（λ）＜g（β）＜g（μ） B．g（λ）＜g（a）＜g（β）＜g（μ） C．g（λ）＜g（a）＜g（μ）＜g（β） D．g（a）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】化简f（x），求函数g（x）的导数，判断函数g（x）的单调性，结合一元二次函数的性质判断α＜λ＜μ＜β，结合函数单调性的性质进行判断即可．【解答】解：由f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）可得f（x）=x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3，∴f′（x）=3x2﹣2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x1x3+x2x3）=0，∵△=4（x1+x2+x3）2﹣12（x1x2+x1x3+x2x3）=2[（x1﹣x2）2+（x2﹣x3）2+（x3﹣x1）2]，∵x1＜x2＜x3．∴△＞0，∴方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；g′（x）=3+2cos（2x+1）＞0，则g（x）为增函数，下面证明α＜＜β，由f′（x）=3x2﹣2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x1x3+x2x3）=0可得f′（）=﹣（x1+x2+x3）（x1+x2）+x1x2+x1x3+x2x3﹣x1x2=﹣＜0即f′（）=3（﹣α）（﹣β）＜0，由α＜β可得α＜＜β，同理可知α＜＜β，∵＜，∴α＜＜＜β，即α＜λ＜μ＜β，∵g（x）为增函数，∴g（a）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β），故选：D3.惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是(

)（A）岁

（B）岁（C）岁

（D）岁参考答案：C由面积和为1，知的频率为，为保证中位数的左右两边面积都是，必须把的面积划分为，此时划分边界为，故选C．4.若，是虚数单位，，则为

A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.等差数列{an}的前n项为Sn，若公差d=﹣2，S3=21，则当Sn取得最大值时，n的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意求出等差数列的首项，得到等差数列的通项公式，再由通项大于等于0求得n值．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，由d=﹣2，S3=21，得3a1+3d=21，∴a1+d=7．∴a1=7﹣d=9．则an=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．由an=11﹣2n≥0，得，∵n∈N*，∴n≤5．即数列{an}的前5项大于0，自第6项起小于0．∴当Sn取得最大值时，n的值为5．故选：D．6.已知函数，，若至少存在一个，使成立，则实数a的范围为(

)

A．[，+∞)

B．(0，+∞)

C．[0，+∞)

D．(，+∞)参考答案：B7.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知可得a，b，c的关系，进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解．【解答】解：如图，tan∠NMF=，tan∠NFO=，∵∠MFN=∠NMF+90°，∴∠NFO=180°﹣MFN=90°﹣∠NMF，即tan∠NFO=，∴，则b2=a2﹣c2=ac，∴e2+e﹣1=0，得e=．故选：A．8.向量，=（x,y）若与-的夹角等于，则的最大值为(

)

A．2

B．

C．4

D．

参考答案：C由题意可知不共线

且，则有，即，即，则判别式，即，所以，即，所以的最大值为4，选C.9.已知函数，，则y=f(x)－c有两个零点，则C的取值范围是（

）A．（－，1）（16，＋∞）

B．[－，－1]（4，＋∞）C．[－，－1）（16，＋∞）

D．（－，－1]（16，＋∞）参考答案：D10.函数的图象大致是参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b=km（k∈Z，k≠0），我们称a、b模m同余，用符号a=b（Modm）表示；在6=b（Modm）中，当，且m＞1时，b的所有可取值为

．参考答案：2或3或4由两个数同余的定义，可得6=b（Modm）中，则称6﹣b=km（k是非零整数），即6=b+km，又∵，且m＞1，∴m是6的正约数，可得m=2、3或6①当m=2时，6=b+2k，可得b=2或4符合题意；②当m=3时，6=b+3k，可得b=3符合题意；⑥当m=6时，根据定义不符合题意，舍去故答案为：2或3或412.一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则这个几何体的体积是

．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是三棱锥，结合三视图判断知：三棱锥的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答： 解：由三视图可知：几何体是三棱锥，∵正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，∴三棱锥的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=××1×1×1=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键．13.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则参考答案：14.

如图，正四面体各棱长均为1，分别在棱上，且，则直线与直线所成角的正切值的取值范围是

参考答案：15.若直线l1：ax+y+2a=0与l2：x+ay+3=0互相平行，则实数a=．参考答案：±1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】把直线方程化为斜截式，利用相互平行的直线与斜率、截距之间的关系即可得出．【解答】解：直线分别化为：y=﹣ax﹣2a，y=﹣，∵两条直线互相平行，∴，解得a=±1．故答案为：±1．16.已知三棱锥，，平面，其中，四点均在球的表面上，则球的表面积为．参考答案：略17.过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．

参考答案：答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）当时，证明：；（2）当时，若在上为增函数，求a的取值范围；（3），试比较与的大小，并进行证明.参考答案：（1）证明见解析（2）（3）,证明见解析【分析】（1）利用导数求出即得证；（2）即在上恒成立，再求的最大值即得解；（3）由(1)知，令，得，利用放缩法和等比数列的前n项和即得证.【详解】(1)证明:当时，，所以令，得；令，得.所以上单调递增，在上单调递减，所以，故.(2)当时，，所以在上恒成立，即在上恒成立.令显然当时，；当时，.而当时，所以在上单调递增，所以所以，即a的取值范围是.证明:由(1)知，令，得，所以，所以，即，所以.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.（本题12分）已知函数对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，（1）当时，求函数的不动点；（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．参考答案：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和．…………….3分（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，∴，得的取值范围为．

……………..7分（3）由得，由题知，，设中点为，则的横坐标为，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．……..12分20.如图：直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中点，M是CD上的动点．（1）若M是CD的中点，求的值；（2）求

的最小值．参考答案：（1）∵，，∴=．………………6分（2）设MD=x，则MC=1-x.其中0<x<1∴===，当且仅当时取等号．………………12分∴当时，的最小值为．………………14分21.（本小题13分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且，。（1）求与的通项公式

（2）求参考答案：（1）（2）22.已知函数,过点P(1,0)作曲线的两条切线PM,PN,切点分别为M,N．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）设|MN|=，试求函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值．参考答案：（1）当

--------2分.则函数有单调递增区间为--4分

（2）设M、N两点的横坐标分别为、，

同理，由切线PN也过点（1，0），得（2）---------------6分

由（1）、（2），可得的两根，

------------------------------------------------------8分

把（*）式代入，得

因此，函数------------