高中数学选修一课时跟踪检测(十五) 圆的一般方程

课时跟踪检测（十五）圆的一般方程[A级基础巩固]1．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为()A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)解析：选D原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，即表示点(－a，－b)．3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有()A．D＝EB．D＝FC．E＝FD．D＝E＝F解析：选A由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线y＝x上，故D＝E.4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：选B设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0解析：选C直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由1,2)．得C(－圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.6．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，则|PA|2＋1＝|PB|2，(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝27．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得答案：(2，－3)所以点B的坐标为(2，－3)．8．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即(1,2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3.答案：39．当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0，所以m＝－3或m＝1.当m＝1时，方程为x2＋y2＝－，不合题意，舍去；当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝综上，m＝－3时满足题意．，表示以原点为圆心，以为半径的圆．10．点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程；(2)若PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．点P在圆x2＋y2＝4上，(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[B级综合运用]11．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为()A．2或1B．－2或－1C．2D．1解析：选Cx2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，m＞1.又圆C过原点，2m2－6m＋4＝0，m＝2或m＝1(舍去)，m＝2.12．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16解析：选B设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16.13．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1.答案：(－∞，1)14．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．解：圆心C，圆心在直线x＋y－1＝0上，－－－1＝0，即D＋E＝－2.又半径长r＝D2＋E2＝20.＝，由可得或又圆心在第二象限，－＜0，即D＞0.则故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.[C级拓展探究]15．已知圆C:x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．解：(