数学软件matlab,lindo lingo-优化工具箱处理

TOC\o"1-4"\h\z\u第5章优化问 foptions函 5章优化问， 6.0解决的线性规，

f

xRnsub.to：AxAeqxlbxf、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq 6.0函数格式x= f'

Axbx=linprog(f,A,b,Aeq,beq) %AeqxbeqAxb，A=[]，b=[]。x= 指定xlbxub，若没有等式约束Aeqx

Aeq，beqx= x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) %options为指定的优化参数[x,fval]=linprog(…) %返回目标函数最优值，即fval=f'*x。[x,lambda,exitflag]=linprog(…) %lambda为解x的Lagrange乘子。[x,lambda,fval,exitflag]=linprog(…) %exitflag为终止迭代的错误条件。[x,fvallambda,exitflag,output outputexitflag>0x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的运算规则，output=cgiterationsPCG迭代次数。 求下面的优化问

x1x2x3203x12x24x30x1,0x2,0>>f=[-5;-4;->>A=[1-11;324;32>>b=[20;42;>>lb=x= fval -exitflag= outputiterations:6%迭代次algorithmlipsol'%所使用规则lambda=ineqlin:[3x1double]eqlin:[0x1double]upper:[3x1double]lower:[3x1>>lambda.ineqlinans=>>lambda.lowerans=231foptions对于优化控制 提供了18个参数，这些参数的具体意义为options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。 约束的结束标准(默认值为1e-6)。options(6)-0BFCG1DFP算法。options(7)-01则采用立方插算法。options(8)-函数值显示(Lambda)options(15)-用于目标—达到问题中的特殊目标。options(17)-优化过程中变量的最大有限差分梯度值。options(18)-步长设置(1或更小)。Foptions已经被optimset和optimget代替 单变量函数求最小值的标准形式为x

x1x 5.x中使用fmin函数求其最小值函数格式x=fminbnd(fun,x1,x2)%xx1xx2fun取最小x值，fun为目标函数的表达式字符串或自定义函数的函数柄。x=fminbnd(fun,x1,x2,options) %options为指定优化参数选项[x,fval]=fminbnd(…) %fval为目标函数的最小值[x,fval,exitflag]=fminbnd(…) %xitflag为终止迭代的条件[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(…) %output为优化信息exitflag>0xexitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0xoutput=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。 f(x)x3cosxxlog解：xfvalexitflag1outputiterations:funcCount:algorithm:'goldensectionsearch,parabolic 在[0，5]上求下面函数的最小值f(x)(x3)3解：先自定义函数： 编辑器中建立M文件为functionf=myfun(x)f=(x-3).^2-1;>>x3多元函数最小值的标准形式为x

其中：xxx1x2,xn] 5.x中使用fmins求其最小值命令fminsearch函数格式x=fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或x=fminsearch(fun,x0,options) %options查optimset[x,fval]=fminsearch(…) [x,fval,exitflag] exitflag[x,fval,exitflag,output %output注意：fminsearch采用了Nelder-Mead 求y2x34xx310xxx2的最小值 1 1 X functionf=myfun(x)X=fminsearchmyfun',[0,0])X=fminsearch(@myfun,[X 命令fminunc函数格式x= %返回给定初始点x0的最小函数值x= options[x,fval %fvalx[x,fval,exitflag]=fminunc(…) %exitflag为终止迭代的条件，与上同。[x,fval,exitflag,output]=fminunc(…) %output为输出优化信息[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc(…) %grad为函数在解x处的梯度值[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…) %目标函数在解x处的海赛注意：2fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。 求f(x)3x22xxx2的最小值 1 >>>>x0=[1>>x1.0e-008 fvalexitflag1outputiterations:funcCount:stepsize:1.2353firstorderopt:1.6772e-007algorithm:'medium-scale:Quasi-Newtonlinegrad1.0e-006hessian >>fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')fun=Inlinefun(x)=>>x0=[1>>x=fminunc(fun,x0)x=1.0e-008 x

C(x)Ceq(x)0AxbAeqxbeqlbx 5.x中，它的求解由函数constr实现。函数fmincon格式xx=x=x=x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval]=fmincon(…)[x,fval,exitflag]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon(…)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessianfmincon(…)参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；x0为初始值；A、b满足线性不等式约束AxbA=[，b=[]；Aeq、beqAeqxbeqAeq=[]，beq=[]；lb、ub满足lbxublb=[]，ubnonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束C(x)0和等式约束Ceq(x0分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：>>x=fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function[C,Ceq]=mycon(x)C= %x处的非线性不等约束C(x)0Ceq= %x处的非线性等式约束Ceq(x0lambdaLagrangeoutputgradxhessianxHessiab

x2x2xx2x 1

(x11)2x2

(x11)2x22x13x2先 编辑器中建立非线性约束函数文件function[c,ceq]=mycon(x)ceq M >>x0=[0>>A=[-2 >>Aeq >>beq=[>>lb %x没有下、上>>ub=[x fvalexitflag= outputiterations:funcCount:stepsize:algorithm:'medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search'firstorderopt:[]cgiterations:[]lambda=lower2x1 %x下界有效情况，通过lambda.lower可查看upper2x1 %x0eqlin0x1 eqnonlin:[0x1double] ineqlin:2.5081e-008 ineqnonlin:6.1938e-008 grad= 1.0e-006*0hessian %目标函数在最小值点的Hessian - 求下面问题在初始点x=(10,10,10)处的最优解

f(x) x1x22x3

x12x22x3x12x22x3>>fun='->>>>A=[-1-2-2;12>>>>x fval

1xHxfx

AxAeqxbeqlbxub其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量5.xqp6.0quadprog函数格式x=quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最x= %Aeq,beqAeqxbeqx= lb,ubxx= %x0x= options[x,fval %fval[x,fval,exitflag]=quadprog(…) %exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output]=quadprog(…) %output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(…) %lambda与线性规划中参数意义相同 求解下面二次规划问 f(x)1x2x2x

2x1x2x12x22x1x2

1 0 0f(x1xHxfx则H 1，f2，xx1 2

x2 中实现如下>>H=[1-1;-12]>>f=[-2;->>A=[11;-12;2>>b=[2;2;>>lb=>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[x= fval exitflag= outputiterations:algorithm:'medium-scale:active-set'firstorderopt:[]cgiterations:[]lambda=lower:[2x1double]upper:[2x1double]eqlin:[0x1double]ineqlin:[3x1>>lambda.ineqlinans=0>>lambda.lowerans=00说明1、2 求二次规划的最优 f(x1,x2)=x1x2+3

x2 中实现如下

>>Aeq=[1>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,[],[xfvalexitflag1outputfirstorderopt:iterations:cgiterations:algorithm:[1x58lambdaeqlin:1.0000ineqlin:[]lower:[upper:[x

C(x)Ceq(x)0AxbAeqxK1(x,w1)0K2(x,w2)…Kn(x,wn)其中：x、b、beq、lb、ub都是向量；A、Aeq是矩阵；C(x)、Ceq(x)Ki(xwi)()w1w2,wn2函数格式xx=x=x=x=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)[x,fval]=fseminf(…)[x,fval,exitflag]=fseminf(…)[x,fval,exitflag,output]=fseminf(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]fseminf(…)参数说明：x0为初始估计值；funA、b由线性不等式约束AxbA=[，bAeq、beqAeqxbeqAeq，beq=[]；Lb、ubx的范围lbxub确定；optionsnthetax=先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为function[C,Ceq,K1,K2,…,Kntheta,S]=%S为向量w% S= Sntheta2w1= w2= …wntheta= %K1= %xw1K2= %xw2…Kntheta=…%xwnthetaC=… %在x处计算非线性不等式约束值Ceq=… %在x处计算非线性等式约束值如果没有约束，则相应的值取为“[]，如Ceq=[]fval为在x处的目标函数最小值；exitflagoutputlambdaxLagrange 求下面一维情形的最优化问x

f(x)(x10.5)2(x20.5)2(x3K1(x,w1)sin(w1x1)cos(w1x2)1(w150)2sin(w1x3)x3K2(x,w2)sin(w2x2)cos(w2x1)1(w250)2sin(w2x3)x31w11w2K1(x,w1)sin(w1x1)cos(w1x2)1(w150)2sin(w1x3)x31K2(x,w2)sin(w2x2)cos(w2x1)1(w250)2sin(w2x3)x31先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为function[C,Ceq,K1,K2,S]=%初始化样本间距ifS=[0.20;0.2%产生样本集w1=w2=%计算半无限约束K1=sin(w1*X(1)).*cos(w1*X(2))-1/1000*(w1-50).^2-sin(w1*X(3))-X(3)-K2=sin(w2*X(2)).*cos(w2*X(1))-1/1000*(w2-50).^2-sin(w2*X(3))-X(3)-%C=[];Ceq=[%然后 命令窗口或编辑器中建立M文件fun='sum((x-x0=[0.5;0.2;0.3]; %Startingguess[x,fval]=fseminf(fun,x0,2,@mycon)xfval>>[C,Ceq,K1,K2mycon %利用初始样本间ans=-ans

-

5- x

f(x)(x10.2)2(x20.2)2(x3K1(x,w)sin(w1x1)cos(w2x2)1(w150)2sin(w1x3)x3sin(w2x2)cos(w1x1)1(w250)2sin(w2x3)x31w11w2x0=[0.25,0.25,0.25]解：先建立非线性和半无限约束函数文件，并保存为function[C,Ceq,K1,S]=%初始化样本间距ifisnan(s(1,1)),s=[22];%w1x=w1y=[wx,wy]=%计算半无限约束函数%无非线性约C=[];Ceq=[m=camlighttitle('Semi-infiniteconstraint')然后 命令窗口下键入命令>>fun='sum((x->>x0=[0.25,0.25,>>[x,fval]=结果为（如图x fval>>[c,ceq,K1]mycon(x,[0.5,0.5]);%样本间距为ans=-

5-x

C(x)Ceq(x)0AxbAeqxbeqlbxub 5.x中，它的求解由函数minmax实现函数格式xfminimax(fun,x0)x=fminimax(fun,x0,A,b)x=x=x=x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval,maxfval]=fminimax(…)[x,fval,maxfval,exitflag]=fminimax(…)[x,fval,maxfval,exitflag,output]=fminimax(…)[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda]fminimax(…)参数说明：fun为目标函数；x0A、b满足线性不等约束AxbA=[]，b；Aeq、beqAeqxbeqAeq，beq；lb、ub满足lbxublb=[]，ub=[]；nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束C(x)0和等式约束Ceq(x0分别在x处的值C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：>>x=fminimax(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function[C,Ceq]=mycon(x)C= %x处的非线性不等约束C(x)0Ceq= %x处的非线性等式约束Ceq(x0optionsfval为最优点处的目标函数值；maxfvalx处的最大值；exitflag为终止迭代的条件；lambdaLagrangeoutput 求下列函数最大值的最小化问[f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x)其中f1(x2x2x248x

f2(x)x2 f3(x)x13x2f4(x)x1f5(x)x1x2myfun.m：functionff(1)=2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304;f(2)=-x(1)^2-3*x(2)^2;f(3)=x(1)+3*x(2)-f(4)=-x(1)-f(5)=x(1)+x(2)-x00.1; %初始[x,fval]=xfval0.0000- - -例5-13 目标函数为：[|f1(x)|,|f2(x)|,|f3(x)|,|f4(x)|,|f5(x)|M文件：>>x00.1; %>>options %>>[x,fval]=fminimax(@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],[xfval37.2356- - - [f1(x),f2(x),,fm(x)

gj(x)

x(x1x2,xn) 最优。此时，我们使用有效解，即如果不存在xS，使得fi(x)fi(x*)，i=1,2,…m,则称 中，多目标问题的标准形式 x,

F(x)weightC(x)Ceq(x)0AxbAeqxbeqlbx标函数与用户定义的目标函数值的接近程度；goal数值向量；为一个松弛因子标量；F(x)为多目标规划中的目标函数向量。 5.x中，它的最优解由attgoal函数实现。函数格式xfgoalattain(fun,x0,goal,weight)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)x=x=x=x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval]=fgoalattain(…)[x,fval,attainfactor]=fgoalattain(…)[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(…)[x,fval,attainfactor,exitflag,output]=fgoalattain(…)[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]fgoalattain(…)x0funfungoalA、b满足线性不等式约束AxbA=[，bAeq、beqAeqxbeqAeq，beq=[]；lb、ublbxub；nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束C(x)0和等式约束Ceq(x0xCCeq性约束函数，并保存为mycon.m：function [C,Ceq]=mycon(x)C= %x处的非线性不等式约束C(x)0Ceq= %x处的非线性等式约束Ceq(x0optionsfvalx处的值；attainfactorx处的目标规划因子；exitflag为终止迭代的条件；outputlambdaxLagrange例5-14 y

0

0其中：A

B

C

00yCx

4Kij

(i,j1,2)functionF=eigfun(K,A,B,C)F=sort(eig(A+B*K*C)); %估计目标函数值A=[-0.500;0-210;01-B=[10;-22;0C=[100;00K011;-1 %初始化控制器矩goal53 %为闭合环路的特征值（极点）设置目标值向weight %lb %ub %设置控制器的上options %设置显示参数：显示每次迭代的输[K,fval,attainfactor]=weight 16121-31-41-Hessianmodified5-1-6-17-18-1Hessianmodified9-1--1-1Hessianmodified-1HessianmodifiedOptimizationterminatedSearchdirectionlessthan2*options.TolXand umconstraintviolationislessthanActive1249K fvalattainfactorx

1Cxd

AxAeqxbeqlbxub其中：C、A、Aeq为矩阵；d、b、beq、lb、ub、x是向量。 5.x中，约束线性最小二乘用函数conls求解。函数lsqlin格式x=lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件Axb下方程Cx=d的最小二乘解x。x= %Aeq、beq满足等式约束Aeqxbeq，若没有不等A=[，bx= %lb、ub满足lbxubAeq，beqx=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0xlb=[]，ub=[]。x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) %options为指定优化参数[x,resnorm]=lsqlin(…) %resnorm=norm(C*x-d)^2，即2-范数。[x,resnorm,residual]=lsqlin(…) [x,resnorm,residual,exitflag]=lsqlin(…) %exitflag为终止迭代的条件 %output表示输出优化信息= %lambda为解x的例5-15 AxblbxxC=d=[0.0578;0.3528;0.8131;0.0098;A=[b=[0.5251;0.2026;lb=-0.1*ones(4,1);ub=2*ones(4,1);[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin(C,d,A,b,[],[xresnormresidualexitflag %说明解xoutputiterations:algorithm:'medium-scale:active-set'firstorderopt:[]cgiterations:[]lambda=lower:[4x1double]upper:[4x1double]eqlin:[0x1ineqlin:[3x1非线性数据（曲线）xdataydata，并且知道输入与输出的函数ydata=F(x,xdata)xx使得下式成立： 1F(x,xdata)ydata21(F(x,xdatai)ydatai 2 5.x中，使用函数curvefit解决这类问题函数格式xlsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)[x,resnorm]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobianlsqcurvefit(…)x0为初始解向量；xdata，ydataydata=F(x,xdata)lb、ub为解向量的下界和上界lbxublb=[]，ub=[]；options为指定的优化参数；fun为拟合函数，其定义方式为：x=其中myfun已定义 functionF=F=… %xfun的用法与前面相同；resnorm=sumfun(x,xdata)-ydata).^2)x处残差的平方和；residual=fun(x,xdata)-ydatax处的残差；exitflagoutputlambdaxLagrangejacobianxfunjacobian 求解如下最小二乘非线性拟合问xdataydata，且长度都是nn即目标函数为x

1(F(x,xdatai)22x0=[0.3,0.4,0.1]functionF=F=x(1)*xdata.^2+x(2)*sin(xdata)+xdata>>xdata=[3.67.79.34.18.62.81.37.910.0>>ydata=[16.5150.6263.124.7208.59.92.7163.9325.0>>x01010 >>[x,resnorm]=OptimizationterminatedRelativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS.TolFunx= resnormx

f(x)f1(x)2f2(x)2fm(x)2其中：L f1(x)f2(x)设F(x) fm(x) 则目标函数可表达为 1F(x)21fi 2其中：x为向量，F(x)函数格式x=lsqnonlin(fun,x0) %x0为初始解向量；fun为fi(x)，i=1,2,…,m，fun返回向量值F，而不是平方和值，平方和隐含在算法中，fun的定义与前面相同。x= %lb、ubxlbxubx=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) %optionsxlb，ub=[]。[x,resnorm]=lsqnonlin(…) %resnorm=sum(fun(x).^2)，即解x处目标函数值。[x,resnorm,residual]=lsqnonlin(…) %residual=fun(x)，即解x处fun的值。[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqnonlin(…) %exitflag为终止迭代条件。[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqnonlin(…) %output输出优化信息。[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqnonlin(…) %lambda为Lagrage乘]= %funx例5- 求下面非线性最小二乘问题(22kekx1ekx2)2初始解向量为myfun.mlsqnonlinfun为向量形式而不是平方和形式，因此，myfun函数应由fi(x)建立：fk(x)22kekx1 F=myfun(x)k=1:10;

F=2+2*k-exp(k*x(1))-x0=[0.3[x,resnorm]=Optimizationter