2017-2018学年八年级数学下册第19章一次函数学科素养思想方法（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精12-学必求其心得，业必贵于专精PAGE一次函数学科素养·思想方法一、数形结合思想【思想解读】化数为形,以形思数，是解决数学问题的关键.数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件，而且是培养创新意识、开发智力的重要途径.【应用链接】直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合,使抽象的数形象化、直观化。在一次函数中体现尤为明显。【典例1】(2017·宝丰一模）某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园,再沿原路返回，设此人离开起点的路程s(千米)与走步时间t(小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时,用2小时，根据图象提供的信息,解答下列问题.(1)求图中的a值.(2）若在距离起点5千米处有一个地点C,此人从第一次经过点C到第二次经过点C,所用时间为1.75小时。①求AB所在直线的函数解析式；②请你直接回答，此人走完全程所用的时间.【思路点拨】（1）根据路程=速度×时间即可求出a值。(2）①根据速度=路程÷时间求出此人返回时的速度,再根据路程=8-返回时的速度×时间即可得出AB所在直线的函数解析式；②令①中的函数解析式中s=0,求出t值即可.【自主解答】(1）a=4×2=8。（2）①此人返回的速度为（8-5)÷=3(千米/小时）,AB所在直线的函数解析式为s=8-3(t-2）=-3t+14.②当s=—3t+14=0时，t=.答：此人走完全程所用的时间为小时.【变式训练】甲、乙两车从A地出发,沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，l1,l2分别表示甲、乙两车行驶路程y（千米）与时间x（小时)之间的关系(如图所示).根据图象提供的信息，解答下列问题：（1)求l2的函数解析式(不要求写出x的取值范围).(2）甲、乙两车哪一辆先到达B地?该车比另一辆车早多长时间到达B地?【解析】(1）设l2的函数解析式是y=k2x+b，由图象知l2经过两点,,则解之得k2=100,b=—75。∴l2的函数解析式是y=100x-75。(2）乙车先到达B地;∵300=100x—75，∴x=。设l1的函数解析式是y=k1x，∵图象过点，∴k1=80,即y=80x.当y=400时，400=80x,∴x=5.∴5—=(小时),∴乙车比甲车早小时到达B地。二、转化思想【思想解读】转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想,就解题的本质而言，解题意味着转化，把生疏问题转化为熟悉问题,把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题,把一般问题转化为特殊问题,把高次问题转化为低次问题,把未知条件转化为已知条件,把一个综合问题转化为几个基本问题,把顺向思维转化为逆向思维等，因此学会数学转化,有利于实现学习迁移,从而可以较快地提高学习质量和数学能力。【应用链接】利用直角坐标系，可以把数量问题转化为图形问题解决；或把求点的坐标转化为求线段的长;求两个函数图象的交点转化为解方程组等问题.【典例2】(2017·河南模拟)如图1，同一直线上依次有A,C,B三个车站，且A，B间的距离为240千米，甲,乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速相向行驶,甲车2小时可到达图中C站，乙车需1小时到达C站,乙车的速度是甲车的,甲、乙两车距C站的距离与行驶的时间x（小时)之间的函数关系如图2所示.（1)求线段MF所代表的函数解析式。(2）求点D的坐标,并说明它表示的实际意义.【思路点拨】（1）根据题意列出有关甲车速度v的一元一次方程，即可求得甲车速度,进而求得M，F点的坐标，根据待定系数法即可求得解析式.(2）两函数的图象相交,说明两辆车相遇。【自主解答】（1)设甲车速度为v千米/时,则乙车速度为v千米/时，根据题意得2v+v×1=240。解得v=90。所以AC=2×90=180(千米）,所以M（0,180），F（2,0),设直线MF的解析式为y=kx+b,则解得∴线段MF所代表的函数解析式为y=-90x+180(0≤x≤2）。（2）240÷（90+60)=1.6.当x=1.6时,y=—90×1.6+180=36,所以点D的坐标为(1。6,36）.点D表示当两车行驶了1。6小时时,在距离C站36千米处相遇。【变式训练】百舸竞渡,激情飞扬.为纪念爱国诗人屈原，邵阳市在资江河隆重举行了“海洋明珠杯”龙舟赛.如图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s（米）与时间t(分钟）之间的函数关系图象,请你根据图象回答下列问题：（1）1。8分钟时,哪支龙舟队处于领先地位?（2）在这次龙舟比赛中，哪支龙舟队先到达终点?（3）比赛开始多少时间后，先到达终点的龙舟队就开始领先？【解析】（1)1。8分钟时，甲龙舟队处于领先地位.（2)乙龙舟队先到达终点。（3)设甲龙舟队的解析式为y=k1x，则1000=4k1,k1=250.∴甲龙舟队的解析式为y=250x。设乙龙舟队2。2分钟及以后的解析式为y=k2x+b，则解得k2=375,b=-425，∴乙龙舟队2.2分钟及以后的解析式为y=375x—425.依题意有∴∴比赛开始3.4分钟后,乙龙舟队开始领先.三、分类讨论思想【思想解读】在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.【应用链接】分类讨论是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,不重复、不遗漏是分类的基本原则.【典例3】(2017·长春模拟)甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地,甲以a千米/时的速度匀速行驶,途中出现故障后停车维修,修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙在甲出发2小时后匀速前往B地,设甲、乙两车与A地的路程为s（千米),甲车离开A地的时间为t(小时)，s与t之间的函数图象如图所示.(1)求a和b的值。（2)求两车在途中相遇时t的值.(3)当两车相距60千米时,t=__________小时。【思路点拨】（1）根据速度=路程÷时间即可求出a值,再根据时间=路程÷速度算出b到5。5之间的时间段,由此即可求出b值。（2）观察图形找出两点的坐标,利用待定系数法即可求出s乙关于t的函数关系式，令s乙=150即可求出两车相遇的时间.（3）分0≤t≤3、3≤t≤4和4≤t≤5.5三段求出s甲关于t的函数关系式，令｜s甲-s乙|=60即可得出关于t的带绝对值符号的一元一次方程,解之即可求出t值，再求出0≤t≤2时,s甲=50t=60中t的值。综上即可得出结论。【自主解答】（1)a==50,b=5.5-=4.(2）设乙车与A地的路程s与甲车离开A地的时间t之间的函数关系式为s乙=kt+m，将（2,0），(5，300)代入s=kt+m，解得：∴s乙=100t-200(2≤t≤5)。当s乙=100t-200=150时，t=3.5。答:两车在途中相遇时t的值为3.5.(3）当0≤t≤3时，s甲=50t;当3≤t≤4时，s甲=150;当4≤t≤5。5时，s甲=150+2×50(t—4)=100t—250。∴s甲=令｜s甲—s乙｜=60，即|50t-100t+200｜=60,｜150—100t+200|=60或｜100t—250—100t+200|=60，解得:t1=，t2=（舍去）,t3=(舍去)，t4=(舍去)；当0≤t≤2时,令s甲=50t=60,解得:t=.综上所述：当两车相距60千米时,t=或.【变式训练】某校部分住校生放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头,后来因故障关闭一个放水笼头.假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x（分)的函数图象如图。请结合图象,回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论.(2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？(3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。"你说可能吗?请说明理由。【解析】(1）具有开放性，答案不唯一。锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升,接水4分钟后，锅炉内的余水量为72升,2分钟前水流量为每分钟8升等。（2）当0≤x≤2时，设函数解析式为y=k1x+b1,把x=0,y=96和x=2,y=80代入得，解得∴y=—8x+96（0≤x≤2)；当x〉2时，设函数解析式为y=k2x+b2,则解得∴y=-4x+88（x〉2）。∵前15位同学接完水时余水量为96—15×2=66(升）,∴66=—4x+88，解得x=5。5.答:前15位同学接完水需要5.5分钟.(3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分),即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符.②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的,设8位同学从t分钟开始接水.当0<t≤2时，则8（2—t)+4[3-（2-t）］=