初中数学人教版八年级下册平行四边形1特殊的平行四边形 全国获奖

第04课正方形性质与判定同步练习题【例1】如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.(1)求证：AE=CG；(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.【例2】如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°,求∠EGC的大小．【例3】正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为BD上一点,延长AE到点N,使AE=EN,连接CN、CE．（1）求证：AE=CE．（2）求证：△CAN为直角三角形．（3）若AN=4，正方形的边长为6，求BE的长．【例4】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？【例5】在正方形ABCD中,点E，F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG（如图①）,求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M，N（如图②）,求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变（如图③）,请你直接写出线段EF,BE,DF之间数量关系．

课堂同步练习一、选择题1、下列对正方形的描述错误的是()

A．正方形的四个角都是直角

B．正方形的对角线互相垂直

C．邻边相等的矩形是正方形D．对角线相等的平行四边形是正方形2、已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形3、如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE＝BF.添加下列一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是()

＝AC

⊥BF

＝DF

＝BF第3题图第4题图第5题图4、如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()

A．75°

B．60°

C．55°

D．45°5、将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B＝90°时,如图1,测得AC＝2,当∠B＝60°时，如图2，AC＝()

A.

B．2

C.

D．26、在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是()

A．12＋12

B．2＋6

C．12＋

D．24＋6第6题图第7题图第8题图7、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3

C．

D．1+8、如图，E是边长为l的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值为（

）A.

B.

C.

D.

9、如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为（）A.B.C.D.第9题图第10题图10、小明和小凡是同班同学,被分到了同一个学习小组.在一次数学活动课上,他们各自用一张面积为100cm2的正方形纸片制作了一副七巧板,并合作完成了如图所示的作品.请计算图中打圈部分的面积是(

)

11、

如图,边长12的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=3，则小正方形的边长为（

）A.

B.

第11题图第12题图12、如图,正方形ABCD边长为6,点E、F分别在AB,AD上,若CE=,且∠ECF=45°,则CF长为（

）A.

B.

C.

D.二、填空题:13、已知E是正方形ABCD对角线AC上一点,AE=AD,过点E作AC垂线,交CD于F,那么∠FAD=_______度．14、如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为．第14题图第15题图第16题图15、如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为．16、如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE=．17、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6,则另一直角边BC的长为．第17题图第18题图第19题图18、如图,正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD边上的点,且∠EAF=45°,对角线BD交AE于点M,交AF于点N.若AB=4,BM=2,则MN的长为

．19、如图,已知正方形ABCD边长为1,∠EAF=45°,AE=AF.则有下列结论：①∠1=∠2=°；②点C到EF的距离是；③△ECF的周长为2；④BE+DF＞EF．其中正确的结论是

．（写出所有正确结论的序号）20、如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q分别是边BC,CD的动点（均不与顶点重合）,当四边形AEPQ的周长取最小值时,四边形AEPQ的面积是

．三、简答题：21、如图,已知点E使正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.求证：EA⊥AF．22、如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．23、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．24、已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F.(1)如图1，当P点在线段AB上时,PE＋PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明；

(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE-PF的值．25、如图,正方形ABCD中,直线a经过点A,且BE⊥a于E,DF⊥a于F.(1)当直线a绕点A旋转到图1位置时.求证：①△ABE≌△DAF；②EF=BE+DF；(2)当直线a绕点A旋转到图2位置时.试探究EF、BE、DF具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并证明；(3)当直线a绕点A旋转到图3位置时.试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,不证明.正方形性质与判定同步测试题一、选择题：1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直

B．对角线相等C．对角线互相平分

D．对角相等2、下列说法中错误的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形3、如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（）A．10°

B．°C．15°

D．20°第3题图第4题图第5题图4、如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A.；

；C.；5、如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点.则当PB+PE的值为最小值时，点P的位置在（

）的三等分点

的中点

C.连接DE与AC的交点

D.以上答案都不对6、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交FG于点P，则DP等于（）A．2B．4C．2D．1第6题图第7题图第8题图7、将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2

B．4cm2

C．6cm2D．8cm28、如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（）

9、如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的有（

）个

个

个

个10、下列命题:如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、AD上的点,AF=BE,CE、BF交于H,BF交AC于M,O为AC的中点,OB交CE于N,连OH.下列结论中:①BF⊥CE；②OM=ON；③；④.其中正确的命题有（）A.只有①②B.只有①②④

C.只有①④D.①②③④第10题图第12题图第13题图二、填空题:11、已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的面积是________cm2．12、如图,已知正方形ABCD中,CM=CD,MN⊥AC,连接CN,则∠MNC=．13、如图,正方形ABCD的周长为16cm，顺次连结正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于______cm，四边形EFGH的面积等于______cm2．14、如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为__________.第14题图15、如图,已知正方形ABCD的边长为1,连结AC、BD,CE平分∠ACD

交BD于点E,则DE=

．第15题图第16题图16、如图,边长为4的正方形ABCD中,点E为AD的中点,连接CE交BD于点F,连接AF,过A作AM⊥AF交CE的延长线于点M,则DM的长为

．三、简答题:17、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为点M，N．求证：AP=MN．18、如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE.(1)求证:AF=BE.(2)如图2,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MP⊥NQ,判断MP与NQ是否相等?并说明理由.19、如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；（2）求AF的长．20、如图,ABCD是正方形,BE∥AC,AE=AC,CF∥AE.求证：∠AEB=2∠BCF.参考答案例题答案详解【例1】（1）略；（2）AE⊥CG；【例2】【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．

（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．【例3】【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，在△ABE和∠CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；（2）证明：∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，∴△CAN为直角三角形；（3）解：∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6，∵∠ACN=90°，AN=4，∴CN==2，∵OA=OC，AE=EN，∴OE=CN=，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4．【例4】

【解答】解：（1）OE=OF．证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可证OC=OF．∴OE=OF．四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴▱AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．（3分）【例5】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）解：EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2

课堂同步练习参考答案1、D2、B．3、D4、B5、A6、A7、A8、A．9、B．10、B11、B12、A．试题分析：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF=EF，∵CE=，CB=6，∴BE===3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，∴EF==，∴，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF===，故选A．13、答案为：14、答案为：5，15、答案为：5．16、答案为8．17、答案为：7．18、答案为：．19、答案为：①②③20、答案为：．21、略

22、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，∵E、F为DC、BC中点，∴DE=DC，BF=BC，∴DE=BF，∵在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2=6．（8分）23、【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴CE=2，∴OE=2．24、

(1)是定值．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∥AC.同理：PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形．∴PE＝OF.又∵∠PBF＝45°，∴PF＝FB.∴PE＋PF＝OF＋FB＝OB＝a.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∥AC.同理：PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形．∴PE＝OF.又∵∠PBF＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF.∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝a.25、(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠BAD=90º.

∴∠BAE+∠DAF=90º

又∵BE⊥a,DF⊥a,∴∠AEB=∠DFA=90º∴∠BAE+∠ABE=90º∴∠ABE=∠DAF

∴ΔABE≌ΔDAF.

②∵ΔABE≌ΔDAF∴AE=DF,BE=AF

又∵EF=AE+AF∴EF=BE+DF

(2)EF=DF-BE

证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠BAD=90º,∴∠BAE+∠DAF=90º又∵BE⊥a,DF⊥a,∴∠AEB=∠DFA=90º∴∠BAE+∠ABE=90º∴∠ABE=∠DAF∴ΔABE≌ΔDAF.

∴AE=DF,BE=AF又∵EF=AE-AF∴EF=DF-BE

(3)EF=BE-DF

同步测试题参考答案1、B2、B3、C4、A；5、C6、B7、B；8、B9、C10、B【解答】解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴△ABF≌△BEC，∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，∴△BEH∽△ABF，∴∠BAF=∠BHE=90°，即BF⊥EC，①正确；∵四边形是正方形，∴BO⊥AC，BO=OC，由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，∴∠ECO=∠FBO，∴△OBM≌△ONC，∴ON=OM，即②正确；③∵△OBM≌△ONC，∴BM=CN，∵∠BOM=90°，∴当H为BM中点时，OH=BM