2023年初二数学上学期知识点和典型例题总结

全等三角形类型一:全等三角形性质的应用

1、如图，△ＡＢD≌△ACE,AB=AC，写出图中的相应边和相应角.ﻫ

思绪点拨:AB=ＡC，AB和AC是相应边，∠Ａ是公共角,∠A和∠A是相应角，按相应边所对的角是相应角,相应角所对的边是相应边可求解.ﻫ解析:AＢ和AC是相应边,AＤ和AE、BD和ＣE是相应边,∠Ａ和∠Ａ是相应角,∠B和∠Ｃ，∠AEC和∠ADB是相应角.

总结升华:已知两对相应顶点，那么以这两对相应顶点为顶点的角是相应角，第三对角是相应角；再由相应角所对的边是相应边，可找到相应边.

已知两对相应边,第三对边是相应边，相应边所对的角是相应角.ﻫ举一反三：

【变式１】如图，△AＢＣ≌△DBE.问线段AE和ＣＤ相等吗？为什么?ﻫ

【答案】证明:由△ABC≌△DBE,得AB=ＤB，ＢC=BE，则ＡB-BE=ＤB-BＣ，即AE＝ＣD。

【变式２】如右图,，。

求证:ＡE∥CＦﻫ【答案】

∴AE∥CFﻫ

2、如图，已知ΔＡBC≌ΔＤEＦ，∠A=３０°，∠Ｂ=50°，ＢＦ=2,求∠DFE的度数与EＣ的长。ﻫ思绪点拨：由全等三角形性质可知：∠DＦE=∠ACB，ＥＣ+ＣF=BＦ+ＦC,所以只需求∠ACB的度数与ＢF的长即可。

解析：在ΔABC中，ﻫ∠ACB＝１80°-∠A-∠Ｂ，

又∠Ａ＝30°,∠Ｂ=５０°，

所以∠ACＢ＝10０°.ﻫ又由于ΔABC≌ΔDＥF，ﻫ所以∠ＡCB=∠DFE，

BC=EＦ（全等三角形相应角相等,相应边相等)。

所以∠DＦＥ=１００°

EC=EF-FC=BC－FC＝FB=２。

总结升华:全等三角形的相应角相等,相应边相等。

举一反三：ﻫ【变式１】如图所示,ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔＢEF,∠AＣＢ=90°．ﻫ求证:（１）CD⊥AB;(２）EF∥AＣ.

【答案】

(１)由于ΔＡCD≌ΔECＤ，ﻫ所以∠AＤC=∠ＥDC（全等三角形的相应角相等）.

由于∠AＤC+∠EＤC=1８0°，所以∠ADC=∠EDＣ=9０°．

所以CD⊥AB.

(2)由于ΔCEF≌ΔBEF,

所以∠CFE=∠ＢＦE（全等三角形的相应角相等).

由于∠ＣFE+∠BFE＝180°,

所以∠ＣＦE=∠BFE=9０°.ﻫ由于∠ＡＣＢ=90°,所以∠AＣB＝∠BFE.

所以EF∥AＣ．ﻫ类型二：全等三角形的证明ﻫ3、如图,AC＝BD，DF=CE，∠ECＢ=∠ＦDA,求证：△ADF≌△BCE．ﻫ思绪点拨:欲证△ADF≌△ＢCE，由已知可知已具有一边一角,由公理的条件判断还缺少这角的另一边,可通过ＡC=BD而得ﻫ解析:∵AC＝ＢＤ(已知)ﻫ∴AB-BD＝AB－AC(等式性质）

即AD=BC

在△ＡＤF与△BＣE中ﻫﻫ∴△ＡDF≌△ＢCE（ＳAS)ﻫ总结升华：运用全等三角形证明线段(角）相等的一般方法和环节如下：ﻫ(1)找到以待证角（线段)为内角(边）的两个三角形，

(2）证明这两个三角形全等；ﻫ(３)由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．ﻫ举一反三：ﻫ【变式１】如图，已知AB∥DＣ,AＢ=DC,求证：ＡＤ∥BCﻫ【答案】∵AB∥CＤﻫ∴∠３＝∠4ﻫ在△ABD和△ＣDB中ﻫﻫ∴△AＢＤ≌△CDB(SAS)

∴∠1＝∠２（全等三角形相应角相等）ﻫ∴AD∥BＣ(内错角相等两直线平行)

【变式２】如图,已知EＢ⊥AD于B，FC⊥AＤ于Ｃ,且EB＝FC,AB＝CD.ﻫ求证AＦ=DＥ.ﻫ【答案】∵EＢ⊥ＡD(已知）

∴∠EＢＤ=90°(垂直定义)ﻫ同理可证∠FCＡ＝９0°ﻫ∴∠EBD＝∠FCA

∵AB=CＤ，BC＝ＢCﻫ∴AC=AB+BC

=BC+CＤﻫ=BD

在△ACF和△ＤＢE中ﻫﻫ∴△ACＦ≌△ＤBE（S.A.S）ﻫ∴AF=DE（全等三角形相应边相等)ﻫ类型三:综合应用ﻫ4、如图,AD为ΔABC的中线。求证:AB+AC＞2AＤ.

思绪点拨:要证AB＋AＣ＞2AD，由图想到：AＢ+BＤ＞AD,AC+CＤ>ＡD,所以AＢ+AC+BＣ＞2AD,所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2ＡD，即倍长中线。

解析：延长AD至E,使ＤE＝AD，连接BEﻫ由于ＡＤ为ΔＡBＣ的中线，

所以BD=CD.ﻫ在ΔＡCD和ΔEBD中,

所以ΔACＤ≌ΔＥBD(SAＳ).

所以BＥ＝CＡ.ﻫ在ΔＡBE中，AＢ＋BE>AE,所以AＢ+AＣ>2ＡＤ.ﻫ总结升华:通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。

举一反三:ﻫ【变式１】已知:如图,在RｔΔABＣ中,AB＝AC,∠BAC＝9０°,∠1=∠２,CE⊥BD的延长线于E，

求证:BD＝2ＣE.

【答案】分别延长CE、BA交于F．ﻫ由于BＥ⊥CF,所以∠ＢEF=∠BEＣ=90°．ﻫ在ΔBＥF和ΔBEＣ中,

所以ΔBEF≌ΔＢEC(ASA）.

所以CＥ=FE＝ＣF.

又由于∠BAＣ＝90°,BE⊥CF.

所以∠BAC=∠CAＦ=９0°,∠1+∠ＢDＡ=９0°,∠１+∠ＢFC=９0°．ﻫ所以∠ＢDA＝∠ＢFＣ.ﻫ在ΔABＤ和ΔＡCF中,ﻫﻫ所以ΔABD≌ΔACF(ＡＡＳ)

所以ＢＤ=ＣF.所以BD=2CＥ.

ﻫ5、如图，AB＝CD，BＥ＝DF,∠B=∠D,

求证：(1)ＡＥ=CＦ,(２)ＡＥ∥CＦ,(3)∠AFE=∠CEＦﻫ思绪点拨:(１)直接通过△AＢE≌△ＣDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(３）由（1)(2）可证明△AＥF≌△CFE而得，总之，欲证两边（角)相等,找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．

解析：

(１)在△ABE与△CDＦ中

ﻫ∴△ABＥ≌△ＣＤF（SAS）

∴AＥ=CF（全等三角形相应边相等)ﻫ(2)∵∠ＡEB＝∠CFD(全等三角形相应角相等）

∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)ﻫ(３)在△AEF与△CFＥ中ﻫ

∴△AEF≌△ＣFE（ＳAS)ﻫ∴∠AFＥ=∠ＣEF(全等三角形相应角相等)ﻫ总结升华:在复杂问题中,常将已知全等三角形的相应角(边)作为鉴定另一对三角形全等的条件.

举一反三:

【变式1】如图，在△AＢC中,延长AC边上的中线BD到F,使ＤF＝ＢD,延长ＡB边上的中线CE到G，使EG=CＥ，求证AF＝ＡG．

ﻫ【答案】在△AGE与△BCE中

ﻫ∴△AGE≌△BCE(SAS)

∴AG=BC(全等三角形相应边相等)

在△ＡFD与△CBD中

∴△ＡFD≌△CＢD(SAS）ﻫ∴AF=CB(全等三角形相应边相等)

∴AF＝AＧ（等量代换）

6、如图ＡB＝AC，BＤ⊥AC于D，ＣE⊥AB于Ｅ,BD、CE相交于F.ﻫ求证：ＡF平分∠BAＣ．ﻫ思绪点拨:若能证得得AD=ＡE,由于∠ＡDＢ、∠AEC都是直角，可证得Rt△ＡDF≌Rt△AEＦ，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ＡBD与Rt△AＥC,由题意已知ＡB=ＡＣ,∠BAC是公共角，可证得Rt△ＡBD≌Rt△ＡＣE．

解析：在Rt△ABD与Rｔ△ACE中ﻫﻫ∴Ｒt△AＢD≌Ｒt△ACE(AＡS)ﻫ∴AD=AE(全等三角形相应边相等)

在Rt△ADF与Ｒｔ△AEF中

ﻫ∴Rｔ△ＡDF≌Rt△AＥF(HL)ﻫ∴∠DAF=∠EAF(全等三角形相应角相等)ﻫ∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)ﻫ总结升华:条件和结论互相转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。ﻫ举一反三：

【变式１】求证:有两边和其中一边上的高相应相等的两个三角形全等.

【答案】根据题意，画出图形,写出已知,求证.

ﻫ已知：如图,在△ＡBC与△A′B′C′中.AＢ=A′B′，BC=B′C′,AD⊥BC于D,Ａ′Ｄ′⊥B′Ｃ′于D′且ＡD=A′D′

求证:△ＡＢＣ≌△Ａ′B′Ｃ′

证明:在Rt△AＢD与Ｒt△A′B′D′中

∴Rｔ△AＢD≌Rｔ△A′B′D′(HＬ)

∴∠Ｂ=∠B′(全等三角形相应角相等）ﻫ在△ＡＢC与△A′Ｂ′C′中

∴△AＢC≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′(ＳAＳ）ﻫ【变式2】已知,如图,AC、BＤ相交于O，AC=BD，∠C=∠D＝90°求证：ＯC=ＯDﻫ【答案】∵∠C=∠D=90°

∴△AＢD、△ACB为直角三角形

在Rt△ABＤ和Rt△ABC中ﻫﻫ∴Rt△AＢD≌Rｔ△ＡBＣ(HＬ）

∴AＤ=BC

在△AOD和△ＢＯＣ中ﻫ

∴△AOＤ≌△BOC(AＡS)ﻫ∴ＯＤ=OC.ﻫﻫ7、⊿AＢC中，AB＝AC，Ｄ是底边ＢＣ上任意一点，DE⊥AB,DＦ⊥AC，ＣG⊥AB垂足分别是E、F、G.．

试判断：猜测线段ＤＥ、ＤＦ、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。

思绪点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径ﻫ解析:结论：DE+ＤF=CＧﻫ方法一:（截长法）板书此种方法（３分钟）

作DＭ⊥CG于Ｍ

∵ＤＥ⊥AB,ＣG⊥AB,DM⊥CＧ

∴四边形ＥＤMG是矩形ﻫＤE=GM

DM//AＢ

∴∠MDＣ=∠Ｂﻫ∵AB＝ACﻫ∴∠Ｂ=∠ＦCＤﻫ∴∠MDC=∠FCD

而DM⊥CG，DF⊥ＡＣ

∴∠ＤＭＣ=∠ＣFDﻫ在⊿MDC和⊿FCD中

∴⊿MDC≌⊿ＦCD（AAＳ）

ＭC＝DＦ

∴DＥ+ＤF=GM＋ＭＣ=CGﻫ总结升华:

方法二(补短法)作CM⊥ＥD交ＥＤ的延长线于Ｍ（证明过程略）ﻫﻫ总结：截长补短的一般思绪,并由此可以引申到截长法有两种截长的想法

方法三（面积法)使用等积转化ﻫ

引申:假如将条件“D是底边ＢC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何?DＥ、DＦ和CG会有如何的关系?画出图形，写出你的猜想并加以证明

举一反三:ﻫ【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。

【答案】证明的过程使用三种证明方法,涉及:(1）截长法(2)补短法（３）面积法轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的结识典例1．下列几何图形中,eq\ｏ\ac(○，1)线段eq\o＼ac（○,2）角eq＼ｏ\ac(○,3)直角三角形eｑ\o\ａｃ(○,4)半圆,其中一定是轴对称图形的有（）A．１个B.2个C．3个D．4个2.正n边形有__________＿条对称轴,圆有__＿__＿＿___＿_＿条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表达轴对称典例:1、如图,Rt△ABC，∠C=90°,∠Ｂ=30°，BC=8,D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DＰ的最小值是2、已知等边ＡＢC，E在ＢC的延长线上,ＣF平分∠ＤCＥ，Ｐ为射线BＣ上一点，Ｑ为CF上一点,连接AＰ、PＱ.若AP＝PQ，求证∠AＰＱ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__＿＿＿＿＿____＿_____＿⑵线段的垂直平分线上的点到_＿_____＿＿＿__＿_＿_____＿_相等归类回忆角平分线的性质⑴角是轴对称图形，其对称轴是____＿____＿___＿＿⑵角平分线上的点到__＿＿_____＿＿____＿____＿_＿_相等典例1、如图，△AＢC中,∠A＝90°,BＤ为∠ＡBＣ平分线，DE⊥BＣ，E是BC的中点,求∠Ｃ的度数。如图，△ＡBC中,AB＝ＡC，PＢ＝PC，连AP并延长交BC于D，求证：ＡD垂直平分BC3、如图,DE是ABC中ＡＣ边的垂直平分线,若ＢＣ＝8厘米,ＡＢ=10厘米,则EBC的周长为()A．１6厘米B.18厘米C．26厘米D.28厘米如图,∠BAC=30°,P是∠BAＣ平分线上一点，PM∥AC,PＤ⊥AＣ,PD=2８,则AM＝FEDCBAG5、如图，在Rｔ△ABＣ中，∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于D.FEDCBAG①∠ＣEＤ=∠CDE；②︰︰；③∠ADＦ＝２∠ＥCD；ﻩ④；⑤CE=DF.其中对的结论的序号是()A．①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤考点五、等腰三角形的特性和辨认典例1、如图,△ABＣ中，AＢ=AC=8，D在BC上,过D作DE∥AＢ交AC于E，DF∥ＡC交ＡB于F,则四边形ＡFＤE的周长为_＿__＿_。如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB,EF过D

且ＥF∥BC,若AB＝7,BC=８，AC=6,则△ＡEＦ周长为（)A.15B.1４C．1３Ｄ．1８NNMFECDBA如图，点B、Ｄ、F在AN上，C、E在AＭ上,且AB=ＢC=ＣD=ED＝EF,∠A=20ｏ,则∠ＦＥＢ=_＿___＿_＿度．4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为４0°,则它的一个底角的度数是＿____＿_＿＿_＿__５、△ABC中,DF是ＡB的垂直平分线,交ＢＣ于D，EG是AC的垂直平分线,交BC于E,若∠ＤＡE=20°，则∠ＢAＣ等于°６、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于7、已知，在△ABＣ中,∠ACB=９0°,点D、E在直线AB上,且AＤ=ＡＣ,BE=BＣ,则∠ＤCE＝度．8、如图:在△ABＣ中,AB=AC，AD⊥BC，DE⊥ＡB于点Ｅ,DF⊥AC于点F。试说明DE=DF。FEDCFEDCBAＤF=ＥF，BD=CＥ.求证:△AＢC是等腰三角形.考点六、等边三角形的特性和辨认⑴等边三角形的各___＿相等，各____相等并且每一个角都等于________⑵三个角相等的三角形是＿__＿____＿_三角形⑶有一个角是６0°的____________三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线______＿_＿____＿＿___＿_____＿_______＿__＿＿_＿＿_典例1、下列推理中,错误的是（)Ａ.∵∠A＝∠B=∠Ｃ,∴△ＡＢC是等边三角形B.∵AB=ＡＣ，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C.∵∠Ａ＝6０°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D.∵AB=AC，∠B＝６0°,∴△ABC是等边三角形2、如图,等边三角形AＢC中,Ｄ是AC的中点,E为BＣ延长线上一点,且CＥ=ＣD,ＤM⊥ＢC,垂足为M。ABABCDEM考点七、30°所对的直角边是斜边的一半典例1、如图，是屋架设计图的一部分,点Ｄ是斜梁AB的中点,立柱BC、ＤE垂直于横梁AC,ＡＢ＝８m，∠A=30°,则DＥ等于（)A.1mＢ．2mＣ.３mD．4ｍ2、如图：△ADＣ中，∠A=15°，∠Ｄ=90°,B在AC的

垂直平分线上,AＢ=３４，则CD=（)A.15B.1７

３、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知ＡO=BO=40cｍ，Ｃ０=Ｄ0=30cm，现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度∠ＡOB刚好为12０°,求桌面到地面的距离是多少？第4题图第4题图甲甲4、如图,AＢ＝ＡC,DE⊥AB于E，ＤF⊥AＣ于F,∠BＡC＝120o，BC＝6，则DE+DF=5、在中，，的垂直平分线交于点，交于点