12年高考真题-理科数学(全国卷)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国）卷数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1．复数（）（A），（B），（C）（D）2．已知集合（A）0或，则（）（B）0或3（C）1或（D）1或3，则该椭圆的方程为（）3．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为（A）（B）（C）（D）4．已知正四棱柱中，，，为（D）1的中点，则直线与平面的距离为（）（A）2（B）（C）5．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为（）（A）6．（B）（C）（D）中，边的高为，若，，，，，则（）（A）（B）（C）（D）7．已知为第二象限角，，则（）（A）（B）（C）（D）8．已知为双曲线：的左、右焦点，点在上，（B）（C）（D），则（）（A）9．已知（A），，，则（）（C）（B）（D）10．已知函数（A）或2的图像与恰有两个公共点，则或3（C）或1（D）（）或1（B）11．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种12．正方形的边长为1，点在边上，点在边上，。动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为（）（A）16（D）10（B）14（C）12二．填空题：共4题，每小题5分，共20分。13．若满足约束条件，则的最小值为_________。14．当函数取得最大值时，___________。15．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为__________。16．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，。则异面直线与所成角的余弦值为________。三．解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．（本小题共10分）的内角的对边分别为，已知，，求。18．（本小题共12分）如图，四棱锥，是中，底面为菱形，⊥底面，；设二面角，上的一点，。证明：⊥平面为，求与平面所成角的大小。19．（本小题共12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。20．（本小题共12分）设函数。讨论的单调性；设，求的取值范围。21．（本小题共12分）抛物线与圆有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。求；设的交点为，求到的距离。是异于且与及都相切的两条直线，22．（本小题共12分）函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与轴交点的横坐标。证明：；求数列的通项公式。2012年普通高校招生全国统考数学试卷（全国卷）解答一．CBCDADACDAAB二．13．；14．；15．56；16．。17．解：由得，故，得。由及正弦定理得，故。，故，于是（舍负）。又底面18．解：因底面为菱形，故。又，故，故。设，连因。因平面，，，，，，从而。因此。又，，故，且。平面，所以平面；如图建系，设，，，则，，。设为平面的法向量，则，即，取得。设为平面的法向量，则，即，取，得得。因平面平面，故，于是。因此，。故，所以与平面所成的角为。19．解：记表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得分；表示事件：第3次发球，甲得1分；表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为。由题，，，因此；由题，的可能取值为。故，，，。因此的数学期望为。20．解：由题。当时，，且仅当，时取等号。故在是增函数；当时，，且仅当，时取等号。故。当时，在是减函数；当时，由解得，时，，，故在是增函数；当，，故在是减函数；当时，，，故在是增函数；由题得，故。令。当，则。又。当时，时，，故，即。当时，有。当时，，，所以；②当时，。综上，。21．解：设，对求导得，故的斜率。当时，不合题意，故。圆心为，故的斜率。由知，解得。故，因此，即；设为上一点，则在该点处的切线方程为。若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简得：。解得，，。抛物线在点处的切线分别为：①，：②，。由②-得22．解：，将代入②得