一阶微分方程的初等解法

问题1一阶显方程若该方程的解存在，如何求解？特殊地，通解：初等积分(解)法§1

变量分离方程与变量变换第1页/共45页第一页，共46页。问题2是否任何一个解存在的一阶微分方程都能用初等解法求解？否.1841年，法国数学家Liouville(刘维尔)给出了一个不能用初等解法求解的方程：下面，介绍五种可用初等积分法求解的方程类型.第2页/共45页第二页，共46页。——可分离变量的微分方程.解法：变量分离类型1一、变量分离方程第3页/共45页第三页，共46页。可以验证:(1.2)式为微分方程(1.1)的(隐式)通解.第4页/共45页第四页，共46页。注第5页/共45页第五页，共46页。求微分方程解分离变量两端积分C例1第6页/共45页第六页，共46页。求微分方程解为所求通解.例2第7页/共45页第七页，共46页。例3解一个充满气体的气球突然扎破了一个孔，漏气的速率正比于气球内气体的质量，比例系数k>0，设球内原有气体100克，如果孔扎破后一分钟内还有20克气体，问：在什么时候球内剩下1克气体？第8页/共45页第八页，共46页。第9页/共45页第九页，共46页。解设鼓风机开动后时刻车间内的含量为在内,的通入量的排出量例4某车间体积为12000立方米，开始时空气中含有0.1%的CO2

,为了降低车间内空气中CO2的含量，用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的CO2的新鲜空气，同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6秒后,车间内的CO2百分比降低到多少?第10页/共45页第十页，共46页。的通入量的排出量的改变量6秒后,车间内的百分比降低到用微元分析法：第11页/共45页第十一页，共46页。例5tyox解第12页/共45页第十二页，共46页。第13页/共45页第十三页，共46页。二、变量变换与可化为变量分离的方程

类型2(2.1)—齐次方程解法：作变量代换：第14页/共45页第十四页，共46页。代入原式，得可分离变量的方程第15页/共45页第十五页，共46页。例6求微分方程解第16页/共45页第十六页，共46页。原微分方程的通解为：第17页/共45页第十七页，共46页。例7抛物线的光学性质实例:探照灯反射镜面的形状.在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解绕x轴旋转而成.则求反射镜面的问题归结为：求xOy面上的第18页/共45页第十八页，共46页。由光的反射定律：PSx第19页/共45页第十九页，共46页。∴得微分方程PSx第20页/共45页第二十页，共46页。①①式化为第21页/共45页第二十一页，共46页。变量代回，得旋转抛物面：第22页/共45页第二十二页，共46页。为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.解法：类型2′(2.1)´——准齐次方程第23页/共45页第二十三页，共46页。有唯一一组解.求其通解，再变量代回xyo齐次方程即可得到原方程(2.1)´的通解.第24页/共45页第二十四页，共46页。上述方法不能用.(2.1)为可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.第25页/共45页第二十五页，共46页。可分离变量的微分方程.第26页/共45页第二十六页，共46页。解代入原方程得例8第27页/共45页第二十七页，共46页。分离变量法得得原方程的通解方程变为第28页/共45页第二十八页，共46页。例9利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为第29页/共45页第二十九页，共46页。例10第30页/共45页第三十页，共46页。第31页/共45页第三十一页，共46页。第32页/共45页第三十二页，共46页。例11传染病SI模型.1.建立模型假设：在疾病传播期内，所考察地区的总人数N

不变，且时间以天为单位；(2)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类，简称健康者和病人：第33页/共45页第三十三页，共46页。(3)每个染病者每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率.由假设，每个病人每天可使s(t)个健康者变成病人第34页/共45页第三十四页，共46页。于是第35页/共45页第三十五页，共46页。2.求解变量分离方程第36页/共45页第三十六页，共46页。3.解释与预测第37页/共45页第三十七页，共46页。io第38页/共45页第三十八页，共46页。tioio第39页/共45页第三十九页，共46页。当t=tM时，病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.由图可知：

tM与成反比.tioio由于日接触率表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高.所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.第40页/共45页第四十页，共46页。

这表明：所有人终将被传染，全变为病人.这显然不符合实际情况.原因：该模型没有考虑病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，而病人不会再变成健康者.可修改SI模型如下：在SI模型的假设(1)、(2)、(3)下,再增加一条第41页/共45页第四十一页，共46页。假设：易得到修改的模型(SIS

模型)：(4)病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率.病人治愈后成为仍可被感染的健康者.第42页/共45页第四十二页，共46页。作业1.批改题2.检查题习题1.2:5,7.习题1.2:1,4,9(2),(4),(6).习题2.1:17,19,20.习题2.1:3,8,9,13.第43页/共45页第四十三页，共46页。再见第44页/共45页第四十四页，共46页。Thanks！第45页/共45页第四十五页，共46页。内容总结问题1。——可分离变量的微分方程.。可以验证:(1.2)式为微分方程(1.1)的(隐式)通解.。第4页/共45页。一