沪科版九年级数学下册同步练习：24.5　三角形的内切圆

5/55/55/524.5三角形的内切圆知识点1三角形内切圆的概念及性质1．2019·广州如图24－5－1所示,⊙O是△ABC的内切圆,那么点O是△ABC的()图24－5－1A.三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．以下说法错误的选项是()A．三角形的内心到三边的距离相等B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆3．教材例题变式如图24－5－2所示,在△ABC中,∠A＝66°,点I是内心,那么∠BIC的度数为()图24－5－2114°B．122°C．123°D．132°4．教材习题24.5第2题变式如图24－5－3,在△ABC中,内切圆I与边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,假设∠A＝70°,那么∠EDF＝________°.图24－5－35．2019·湖州如图24－5－4,△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连接OB,OD.假设∠ABC＝40°,那么∠BOD的度数是________．图24－5－46．如图24－5－5,P是△ABC的内心,连接PA,PB,PC,△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为S1,S2,S3,那么S1________S2＋S3.(填“＜〞“＝〞或“＞〞)图24－5－5知识点2作三角形的内切圆7．为美化校园,学校准备在如图24－5－6所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛(保存作图痕迹,不要求写作法)．图24－5－68．如图24－5－7所示,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,那么()图24－5－7A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF9．如图24－5－8,⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等,那么以下说法正确的选项是()图24－5－8A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是等边三角形D．△ABC是等腰三角形10．?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有以下问题：“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何？〞其意思是：“今有直角三角形,如图24－5－9,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？〞()图24－5－9A．3步B．5步C．6步D．8步11．如图24－5－10,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝40°,延长AC到点D,使CD＝BC,点P是△ABD的内心,那么∠BPC的度数为()图24－5－10A．105°B．110°C．130°D．145°12．如图24－5－11,Rt△ABC的内切圆⊙O切斜边AB于点D,切BC于点E,BO的延长线交AC于点M.求证：BO·BC＝BD·BM.图24－5－1113．教材习题24.5第5题变式如图24－5－12,E为△ABC内一点,AE的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D,且DB＝DC＝DE.求证：E为△ABC的内心．图24－5－1214．如图24－5－13,在等腰三角形ABC中,CA＝CB,AD是腰BC边上的高,△ACD的内切圆⊙E分别与边AD,BC相切于点F,G.(1)求证：AF＝BG；(2)过点E作EH⊥AB于点H,试探索线段EH与线段AB的数量关系,并说明理由．图24－5－1315．△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,假设eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵)),如图24－5－14①.(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论；(2)设AE与DF相交于点M,如图②,AF＝2FC＝4,求AM的长．图24－5－14

教师详解详析1．B2．C3．C[解析]∵∠A＝66°,∴∠ABC＋∠ACB＝114°.∵点I是内心,∴∠IBC＝eq\f(1,2)∠ABC,∠ICB＝eq\f(1,2)∠ACB,∴∠IBC＋∠ICB＝57°,∴∠BIC＝180°－57°＝123°.应选C.4．55[解析]连接IE,IF,∵⊙I内切于△ABC,∴∠IEA＝∠IFA＝90°,∴∠EIF＝180°－∠A＝110°.由圆周角定理,得∠EDF＝eq\f(1,2)∠EIF＝55°.5．70°[解析]∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,∴OB平分∠ABC,OD⊥BC,∴∠OBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×40°＝20°,∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.6．＜[解析]过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,∵P是△ABC的内心,∴PD＝PE＝PF.∵S1＝eq\f(1,2)AB·PD,S2＝eq\f(1,2)BC·PF,S3＝eq\f(1,2)AC·PE,AB＜BC＋AC,∴S1＜S2＋S3.7．解：如下图的⊙O.8．C[解析]连接OA,OB,那么AO,BO分别是∠CAB与∠CBA的平分线,∴∠EAO＝∠OAB.∵EF∥AB,∴∠EOA＝∠OAB,∴∠EOA＝∠EAO,∴AE＝EO.同理可得：FO＝BF,∴EF＝AE＋BF.应选C.9．A[解析]如图,过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,OQ⊥AC于点Q.∵DE＝FG＝HK,∴OM＝ON＝OQ,即点O到△ABC三边的距离相等,∴点O是△ABC的内心．应选A.10．C[解析]根据勾股定理得斜边长为eq\r(82＋152)＝17,那么该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r＝eq\f(8＋15－17,2)＝3(步),那么直径为6步．应选C.11．D[解析]连接PD,连接AP并延长交BC于点E,∵AB＝AC,∠A＝40°,∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝70°.∵CD＝CB,∴∠D＝∠CBD,而∠ACB＝∠D＋∠CBD,∴∠CBD＝eq\f(1,2)∠ACB＝35°,∴∠ABD＝35°＋70°＝105°.∵点P是△ABD的内心,∴AP平分∠BAC,BP平分∠ABD,∴AE垂直平分BC,∠PBD＝eq\f(1,2)∠ABD＝52.5°,∴∠PBC＝52.5°－35°＝17.5°.∵PE垂直平分BC,∴PB＝PC,∴∠PBC＝∠PCB＝17.5°,∴∠BPC＝180°－17.5°－17.5°＝145°.12．[解析]连接OD,证明△BOD∽△BMC即可．证明：连接OD,∵⊙O为Rt△ABC的内切圆,D,E均为切点,∴OD⊥AB,∠OBD＝∠MBC.又∵∠C＝90°,∴∠ODB＝∠C＝90°,∴△BOD∽△BMC,∴eq\f(BO,BM)＝eq\f(BD,BC),即BO·BC＝BD·BM.13．证明：连接BE,∵DB＝DC,∴eq\o(DB,\s\up8(︵))＝eq\o(DC,\s\up8(︵)),∴∠DAB＝∠DAC＝∠DBC,∴AD为∠CAB的平分线．∵DB＝DE,∴∠DBE＝∠DEB,即∠DAB＋∠ABE＝∠DBC＋∠CBE,∴∠ABE＝∠CBE,∴BE平分∠ABC,∴E为△ABC的内心．14．解：(1)证明：如图,设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I,∵△ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G,∴CI＝CG.同理可得AI＝AF.∵CA＝CB,CI＝CG,∴AI＝BG,∴AF＝BG.(2)EH＝eq\f(1,2)AB.理由：如图,过点E作EH⊥AB于点H,连接AE,BE,CE,由⊙E是△ACD的内切圆可知∠ACE＝∠BCE.在△ACE和△BCE中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CA＝CB,,∠ACE＝∠BCE,,CE＝CE,))∴△ACE≌△BCE(SAS),∴∠AEC＝∠BEC,AE＝BE.∵E是△ACD的内切圆的圆心,∠ADC＝90°,∴∠AEC＝90°＋eq\f(1,2)∠ADC＝135°,∴∠BEC＝∠AEC＝135°,∴∠AEB＝90°.又∵AE＝BE,∴△ABE为等腰直角三角形．∵EH⊥AB于点H,∴EH＝eq\f(1,2)AB.15．解：(1)△ABC为等腰三角形．证明：∵△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°.∵四边形的内角和为360°,∴∠EOF＋∠C＝180°,∠DOE＋∠B＝180°.∵eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵)),∴∠EOF＝∠DOE,∴∠B＝∠C,∴AB＝AC,∴△ABC为等腰三角形．(2)连接OB,OC,OD,O