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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE18-学必求其心得,业必贵于专精eq\o(\s\up7(第一节),\s\do5())eq\o(\s\up7(随机事件的概率),\s\do5())1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率意义以及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.知识点一频率与概率1.在相同条件下,大量重复进行同一试验,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有________.我们把这个常数叫做随机事件A的______.记作________.2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但是频率是随机的,而______是一个确定的值,通常人们用______来反映随机事件发生的可能性的大小.有时也用______来作为随机事件概率的估计值.答案1.稳定性概率P(A)2.概率概率频率1.给出下列三个命题:①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是eq\f(3,7);③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中错误的命题有________个.解析:①错,不一定是10件次品;②错,eq\f(3,7)是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这是两个不同的概念.答案:32.(2017·长沙模拟)有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15。5)2[15.5,19。5)4[19.5,23。5)9[23.5,27。5)18[27。5,31。5)11[31。5,35。5)12[35。5,39.5)7[39。543。5)3根据样本的频率分布估计,数据落在[27。5,43。5)的概率约是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C。eq\f(1,2) D。eq\f(2,3)解析:由条件可知,落在[27。5,43.5)的数据有11+12+7+3=33(个),故所求概率约为eq\f(33,66)=eq\f(1,2)。答案:C知识点二事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A____,则事件B____,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)____________相等关系若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等____并事件(和事件)若某事件发生_______________,称此事件为事件A与事件B的______(或和事件)____________交事件(积事件)若某事件发生_________________发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)____________互斥事件若A∩B为______事件,则事件A与事件B互斥A∩B=∅对立事件若A∩B为______事件,A∪B为________,那么称事件A与事件B互为对立事件答案发生一定发生B⊇A(或A⊆B)A=B当且仅当事件A发生或事件B发生并事件A∪B(或A+B)当且仅当事件A发生且事件BA∩B(或AB)不可能不可能必然事件3.甲:A1、A2是互斥事件;乙:A1、A2是对立事件.那么()A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件解析:对立事件一定互斥,互斥事件不一定对立.答案:B4.(人教A必修③P121T4)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶解析:事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次"两种情况,由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.答案:D知识点三概率的基本性质1.概率的取值范围:____________.2.必然事件的概率P(E)=____。3.不可能事件的概率P(F)=____.4.概率的加法公式.如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=__________。5.对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=____,P(A)=________。答案1.0≤P(A)≤12.13.04.P(A)+P(B)5.11-P(B)5.从一副混合后的扑克牌(52张)中,随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(A∪B)=________。(结果用最简分数表示).解析:∵P(A)=eq\f(1,52),P(B)=eq\f(13,52),∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=eq\f(1,52)+eq\f(13,52)=eq\f(14,52)=eq\f(7,26).答案:eq\f(7,26)6.(2017·太原模拟)某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为________;中10环的概率约为________.解析:中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为eq\f(9,10)=0。9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0。9。同理得中10环的概率约为0.2.答案:0.90.2热点一随机事件间的关系【例1】判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件:某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是女生.【解】(1)是互斥事件,不是对立事件.“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件,不是对立事件.(2)不是互斥事件,也不是对立事件.“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生"两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果,它们可能同时发生.(3)是互斥事件且是对立事件.“至少有1名男生”,即“选出的两人不全是女生”,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件.∴两个事件互斥且对立.【总结反思】对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系。下列命题:①将一枚硬币抛两次,设事件M:“两次出现正面",事件N:“只有一次出现反面",则事件M与N互为对立事件.②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件.③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件.④若事件A与B互为对立事件,则事件A+B为必然事件.其中真命题是()A.①②④ B.②④C.③④ D.①②解析:对①,将一枚硬币抛两次,共出现{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}四种结果,则事件M与N是互斥事件,但不是对立事件,故①错.对②,对立事件首先是互斥事件,故②正确.对③,互斥事件不一定是对立事件,如①中两个事件,故③错.对④,事件A、B为对立事件,则在一次试验中A、B一定有一个要发生,故④正确.答案:B热点二随机事件的频率与概率【例2】(2016·新课标全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85a1.251。51。752随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%".求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.【解】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60+50,200)=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4。由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30+30,200)=0。3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85a1.251。51.752频率0.300.250。150.150.100。05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1。25a×0。15+1。5a×0.15+1.75a×0。10+因此,续保人本年度平均保费的估计值为1。1925a【总结反思】(1)概率与频率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法:利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率。某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示:抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率eq\f(m,n)(1)计算表中乒乓球优等品的频率;(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)解:(1)依据公式f=eq\f(m,n),计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0。920,0。970,0。940,0。954,0。951.(2)由(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率在常数0。950的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为0。950。热点三互斥事件与对立事件的概率【例3】某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【解】(1)P(A)=eq\f(1,1000),P(B)=eq\f(10,1000)=eq\f(1,100),P(C)=eq\f(50,1000)=eq\f(1,20)。故事件A,B,C的概率分别为eq\f(1,1000),eq\f(1,100),eq\f(1,20)。(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.∵A、B、C两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=eq\f(1+10+50,1000)=eq\f(61,1000)。故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000)。(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖"为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,∴P(N)=1-P(A∪B)=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)+\f(1,100)))=eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000)。【总结反思】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P(eq\x\to(A))求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示。一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11。522。53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为eq\f(1×15+1。5×30+2×25+2。5×20+3×10,100)=1。9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2。5分钟",“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率得P(A1)=eq\f(20,100
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