2018届数学复习第十章概率第一节随机事件的概率学案文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精eq\o(\s\up7(第一节），\s\do5())eq\o(\s\up7(随机事件的概率），\s\do5(）)1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．知识点一频率与概率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________．我们把这个常数叫做随机事件A的______．记作________．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而______是一个确定的值,通常人们用______来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用______来作为随机事件概率的估计值．答案1．稳定性概率P(A）2．概率概率频率1．给出下列三个命题：①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\f(3,7）；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中错误的命题有________个．解析：①错，不一定是10件次品；②错，eq\f（3,7）是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这是两个不同的概念．答案：32．(2017·长沙模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15。5）2［15.5,19。5）4［19.5,23。5）9[23.5,27。5)18[27。5,31。5）11[31。5，35。5)12［35。5，39.5)7[39。543。5）3根据样本的频率分布估计,数据落在［27。5,43。5）的概率约是()A.eq\f(1,6） B.eq\f(1,3）C。eq\f（1,2) D。eq\f(2，3)解析：由条件可知，落在[27。5,43.5）的数据有11＋12＋7＋3＝33（个），故所求概率约为eq\f(33,66)＝eq\f(1，2）。答案:C知识点二事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A____，则事件B____,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B）____________相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等____并事件(和事件）若某事件发生_______________，称此事件为事件A与事件B的______(或和事件）____________交事件（积事件)若某事件发生_________________发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)____________互斥事件若A∩B为______事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为______事件，A∪B为________,那么称事件A与事件B互为对立事件答案发生一定发生B⊇A（或A⊆B)A＝B当且仅当事件A发生或事件B发生并事件A∪B（或A＋B）当且仅当事件A发生且事件BA∩B（或AB）不可能不可能必然事件3．甲:A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件．那么(）A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立．答案：B4．（人教A必修③P121T4）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次"两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．答案：D知识点三概率的基本性质1．概率的取值范围：____________.2．必然事件的概率P（E）＝____。3．不可能事件的概率P(F）＝____.4．概率的加法公式．如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__________。5．对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________。答案1．0≤P（A)≤12.13.04．P(A)＋P(B）5.11－P(B）5．从一副混合后的扑克牌（52张）中,随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________。(结果用最简分数表示)．解析：∵P（A）＝eq\f(1,52)，P（B)＝eq\f（13,52),∴P（A∪B）＝P(A)＋P(B）＝eq\f(1，52)＋eq\f（13，52）＝eq\f（14,52)＝eq\f（7，26）.答案：eq\f(7，26)6．(2017·太原模拟)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环,有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次,则其中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．解析:中靶的频数为9,试验次数为10，所以中靶的频率为eq\f（9，10）＝0。9，所以此人射击1次,中靶的概率约为0。9。同理得中10环的概率约为0.2.答案:0.90.2热点一随机事件间的关系【例1】判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中（1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3）至少有1名男生和全是女生．【解】（1）是互斥事件，不是对立事件．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件．（2)不是互斥事件，也不是对立事件．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生"两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．（3）是互斥事件且是对立事件．“至少有1名男生”，即“选出的两人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件．∴两个事件互斥且对立.【总结反思】对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系。下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面"，事件N:“只有一次出现反面"，则事件M与N互为对立事件．②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件．③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件．④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件．其中真命题是（)A．①②④ B．②④C．③④ D．①②解析:对①,将一枚硬币抛两次，共出现{正，正},{正,反｝，{反,正｝,｛反,反}四种结果,则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错．对②，对立事件首先是互斥事件,故②正确．对③,互斥事件不一定是对立事件,如①中两个事件，故③错．对④，事件A、B为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．答案：B热点二随机事件的频率与概率【例2】(2016·新课标全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a1.251。51。752随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"．求P（B）的估计值；(3）求续保人本年度平均保费的估计值．【解】（1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f（60＋50,200)＝0.55,故P(A）的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4。由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f（30＋30，200)＝0。3，故P（B)的估计值为0.3.(3）由所给数据得保费0.85a1.251。51.752频率0.300.250。150.150.100。05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1。25a×0。15＋1。5a×0.15＋1.75a×0。10＋因此，续保人本年度平均保费的估计值为1。1925a【总结反思】（1）概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的,而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．（2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率。某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示：抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率eq\f（m，n)(1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位)解：（1）依据公式f＝eq\f(m,n),计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0。920，0。970,0。940,0。954，0。951.（2)由（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多,频率在常数0。950的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为0。950。热点三互斥事件与对立事件的概率【例3】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个,一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：（1)P(A），P（B）,P(C)；（2）1张奖券的中奖概率；(3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】（1)P(A）＝eq\f（1，1000),P（B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1，100)，P（C)＝eq\f(50，1000)＝eq\f（1,20）。故事件A，B,C的概率分别为eq\f（1,1000），eq\f（1，100），eq\f(1，20)。（2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M＝A∪B∪C.∵A、B、C两两互斥,∴P（M)＝P(A∪B∪C）＝P(A）＋P（B）＋P(C）＝eq\f（1＋10＋50，1000)＝eq\f(61,1000)。故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000）。(3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖"为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P（N)＝1－P（A∪B)＝1－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，1000）＋\f(1,100))）＝eq\f（989，1000）.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000）。【总结反思】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法，先求该事件的对立事件的概率,再由P（A）＝1－P（eq\x\to(A））求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11。522。53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％。（1）确定x，y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解:（1)由已知得25＋y＋10＝55,x＋30＝45，所以x＝15,y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f（1×15＋1。5×30＋2×25＋2。5×20＋3×10,100)＝1。9（分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2。5分钟"，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1）＝eq\f(20,100