2018届数学复习第九章算法初步、统计、统计案例第四节变量间的相关关系、统计案例学案文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19-学必求其心得，业必贵于专精eq\o（\s\up7(第四节），\s\do5（)）eq\o（\s\up7(变量间的相关关系、统计案例)，\s\do5（）)1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系．2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程．3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．知识点一两个变量的相关关系1．相关关系的分类(1)正相关：从散点图上看，点散布在从________到______的区域内;（2)负相关：从散点图上看，点散布在从左上角到________的区域内．2．线性相关关系从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫________．答案1．(1）左下角右上角（2)右下角2．回归直线1．根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示,则这两个变量________线性相关关系．（填“具有”或“不具有”)解析：图中的点分布零散，不在一条直线附近，所以不具有线性相关关系．答案：不具有2．（2017·泉州模拟)下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（)解析：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系;在两个变量的散点图中，若样本点呈直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，对照图形:B，D样本点呈直线形带状分布，B是负相关，D是正相关，C样本点不呈直线形带状分布．所以两个变量具有正相关关系的图是D。答案：D知识点二回归分析1．回归方程(1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的______最小的方法叫最小二乘法．（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：（x1,y1)，（x2，y2)，…,（xn,yn)，其回归方程为eq\o(y，\s\up15（^))＝eq\o(b,\s\up15（^))x＋eq\o（a,\s\up15（^）)，则eq\o（b，\s\up15(^））＝eq\f(\i\su(i＝1,n，）xi－\x\to(x)yi－\x\to（y），\i\su(i＝1，n,）xi－\x\to（x)2）＝eq\f（\i\su(i＝1，n，x)iyi－n\x\to(x)\x\to（y)，\i\su（i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to（x）2），eq\o（a,\s\up15（^）)＝eq\x\to(y）－eq\o(b,\s\up15（^))eq\x\to（x），其中,eq\o(b，\s\up15（^)）是回归方程的______，eq\o（a，\s\up15(^）)是在y轴上的截距．2．样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1，n，）xi－\x\to（x）yi－\x\to（y)，\r（\i\su(i＝1,n,）xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n，)yi－\x\to（y)2)），用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱．(1）当r〉0时，表明两个变量________；（2）当r〈0时，表明两个变量________；(3)r的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相关性__________；r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当｜r|〉0。75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．答案1．（1)距离的平方和（2）斜率2．（1)正相关(2）负相关（3）越强3．最小二乘法的原理是（）A．使得eq\i\su（i＝1,n，［)yi－（a＋bxi)]最小B．使得eq\i\su(i＝1,n，[)yi－(a＋bxi)2]最小C．使得eq\i\su（i＝1，n,［）yeq\o\al(2，i）－(a＋bxi)2]最小D．使得eq\i\su(i＝1，n，［)yi－(a＋bxi）］2最小解析:根据回归方程表示到各点距离之和最小的直线方程，即总体偏差最小，亦即eq\i\su(i＝1,n，［）yi－（a＋bxi)]2最小．答案：D4．当我们建立多个模型拟合某一数据组时，为了比较各个模型的拟合效果，我们可通过计算下列（)量来确定①残差平方和②回归平方和③相关指数R2④相关系数rA．①B．①③C．①②③D．③④解析：残差平方和越小,相关指数R2越大，拟合的效果越好．答案:B知识点三独立性检验1．分类变量：变量的不同“值"表示个体所属的________，像这类变量称为分类变量．2．列联表：列出两个分类变量的________,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(nad－bc2，a＋ba＋cb＋dc＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）,则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”．答案1．不同类型2.频数表5．在性别与吃零食这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是________．①若K2的观测值为k＝6.635，我们有99％的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②从独立性检验可知有99％的把握认为吃零食与性别有关系时,我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③若从统计量中求出有99%的把握认为吃零食与性别有关系，是指有1%的可能性使得出的判断出现错误．解析：由独立性检验的基本思想可得，只有③正确．答案：③热点一相关关系的判断【例1】(1）在一组样本数据（x1，y1),(x2,y2)，…，（xn,yn）（n≥2，x1，x2，…,xn不全相等)的散点图中，若所有样本点（xi，yi)（i＝1，2,…，n)都在直线y＝eq\f(1，2）x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C.eq\f(1，2）D．1（2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x，y是负相关关系；②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关系数的平方为req\o\al(2,1），用eq\o（y,\s\up15（^））＝eq\o(b,\s\up15(^)）x＋eq\o（a，\s\up15(^）)拟合时的相关系数的平方为req\o\al（2,2），则req\o\al（2,1）〉req\o\al(2,2）;③x、y之间不能建立线性回归方程．【解析】(1）所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D.（2)①显然正确；由散点图知,用y＝c1ec2x拟合的效果比用eq\o（y,\s\up15(^))＝eq\o（b,\s\up15(^））x＋eq\o(a，\s\up15（^）)拟合的效果要好，故②正确；x，y之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故③不正确．【答案】（1)D(2)①②【总结反思】判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r〉0时，正相关；r<0时，负相关．（3）线性回归方程中：eq\o（b，\s\up15(^））>0时，正相关;eq\o(b,\s\up15(^））<0时，负相关.(1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系,并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o（y，\s\up15(^))＝2。347x－6。423;②y与x负相关且eq\o（y,\s\up15(^))＝－3。476x＋5。648；③y与x正相关且eq\o（y,\s\up15(^)）＝5.437x＋8。493;④y与x正相关且eq\o(y,\s\up15（^））＝－4.326x－4.578。其中一定不正确的结论的序号是(）A．①②B．②③C．③④D．①④（2）变量X与Y相对应的一组数据为（10,1）,(11。3,2），（11。8，3),（12.5,4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为（10,5），(11。3，4)，(11.8，3），(12。5，2）,(13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则（)A．r2<r1〈0 B．0〈r2〈r1C．r2<0〈r1 D．r2＝r1解析:(1)由回归方程eq\o(y,\s\up15(^）)＝eq\o（b,\s\up15（^））x＋eq\o(a,\s\up15(^）)知当eq\o(b，\s\up15(^）)〉0时，y与x正相关，当eq\o（b，\s\up15（^））〈0时，y与x负相关,∴①④一定错误．(2）对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大,故Y与X正相关，即r1〉0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，所以选C。答案：(1）D（2)C热点二,线性回归分析【例2】(2016·新课标全国卷Ⅲ）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图．（Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0。01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：eq\i\su（i＝1,7，y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7，t)iyi＝40。17,eq\r(\i\su（i＝1,7，）yi－\x\to（y)2)＝0。55，eq\r（7)≈2.646。参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1，n,）ti－\x\to(t)yi－\x\to（y）,\r（\i\su（i＝1,n,)ti－\x\to（t)2\i\su（i＝1,n，)yi－\x\to（y)2）)，回归方程eq\o（y，\s\up15（^))＝eq\o（a，\s\up15（^）)＋eq\o（b,\s\up15（^））t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o（b,\s\up15(^))＝eq\f(\i\su（i＝1，n，)ti－\x\to(t）yi－\x\to（y),\i\su（i＝1，n，)ti－\x\to（t)2），eq\o(a,\s\up15（^)）＝eq\x\to（y)－eq\o（b，\s\up15（^))eq\x\to（t).【解】（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得eq\x\to（t)＝4,eq\i\su（i＝1,7，)（ti－eq\x\to（t）)2＝28,eq\r(\i\su（i＝1，7，)yi－\x\to（y）2）＝0.55，eq\i\su（i＝1,7,）(ti－eq\x\to（t))（yi－eq\x\to（y））＝eq\i\su(i＝1,7，t）iyi－eq\x\to(t)eq\i\su（i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2。89，r≈eq\f(2.89,0。55×2×2。646）≈0。99。因为y与t的相关系数近似为0。99,说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．（Ⅱ）由eq\x\to(y）＝eq\f（9.32，7)≈1。331及(Ⅰ）得eq\o（b，\s\up15(^）)＝eq\f(\i\su（i＝1，7,)ti－\x\to（t)yi－\x\to(y)，\i\su（i＝1，7，)ti－\x\to（t)2)＝eq\f（2。89，28）≈0。103，eq\o(a,\s\up15(^））＝eq\x\to(y）－eq\o(b,\s\up15（^））eq\x\to（t）≈1.331－0.103×4≈0。92。所以,y关于t的回归方程为eq\o(y，\s\up15(^)）＝0.92＋0。10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得eq\o（y,\s\up15(^))＝0。92＋0。10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1。82亿吨。【总结反思】(1）正确理解计算eq\o(b,\s\up15(^）)，eq\o(a，\s\up15（^)）的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(2）回归直线方程eq\o（y，\s\up15(^））＝eq\o(b,\s\up15(^）)x＋eq\o（a,\s\up15(^））必过样本点中心（eq\x\to（x）,eq\x\to（y)）．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程来估计和预测。(1）（2017·江西南昌十所省重点中学一模）某产品的广告费用x(万元）与销售额y(万元）的统计数据如下表所示，根据表中数据可得回归方程eq\o(y,\s\up15（^））＝eq\o（b,\s\up15（^))x＋eq\o(a，\s\up15（^）)中的eq\o(b,\s\up15（^))＝10.6.据此模型预测广告费用为10万元时的销售额为(）广告费用x(万元）4235销售额y（万元）49263958A．112.1万元 B．113。1万元C．111.9万元 D．113。9万元（2）从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi（单位:千元)的数据资料，算得eq\i\su(i＝1，10，x）i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1，10，x)iyi＝184，eq\i\su（i＝1,10，x）eq\o\al（2,i)＝720.①求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程eq\o（y，\s\up15(^))＝eq\o(b,\s\up15（^)）x＋eq\o（a,\s\up15（^)）;②判断变量x与y之间是正相关还是负相关；③若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附:线性回归方程eq\o(y,\s\up15（^))＝eq\o（b,\s\up15（^)）x＋eq\o(a，\s\up15（^)）中,eq\o（b,\s\up15（^）)＝eq\f（\i\su（i＝1,n,x)iyi－n\x\to（x）\x\to（y），\i\su（i＝1,n,x)\o\al（2，i)－n\x\to（x）2)，eq\o(a,\s\up15（^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b,\s\up15（^）)eq\x\to(x),其中eq\x\to（x），eq\x\to(y)为样本平均值．解析：（1）由题表中数据得eq\x\to(x）＝3。5，eq\x\to(y）＝43。由于回归直线eq\o（y，\s\up15(^）)＝eq\o(b,\s\up15(^)）x＋eq\o（a，\s\up15（^）)过点（eq\x\to（x）,eq\x\to(y））,且eq\o（b，\s\up15（^）)＝10.6，解得eq\o(a,\s\up15(^）)＝5。9，所以线性回归方程为eq\o（y，\s\up15（^))＝10.6x＋5.9，于是当x＝10时，eq\o(y，\s\up15（^）)＝111。9。(2）解：①由题意知n＝10,eq\x\to(x)＝eq\f(1，10)eq\i\su（i＝1，10,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\x\to（y）＝eq\f(1,10）eq\i\su(i＝1,10,y)i＝eq\f（20,10)＝2，又eq\i\su（i＝1,10,x）eq\o\al(2，i)－10eq\x\to（x)2＝720－10×82＝80。eq\i\su(i＝1,10,x）iyi－10eq\x\to(x)eq\x\to（y）＝184－10×8×2＝24。由此得eq\o(b，\s\up15(^))＝eq\f(\i\su(i＝1，10,x）iyi－10\x\to(x)\x\to（y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al（2,i)－10\x\to(x)2）＝eq\f(24，80)＝0.3，eq\o(a，\s\up15（^）)＝eq\x\to（y)－eq\o(b，\s\up15(^))eq\x\to(x）＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为eq\o(y，\s\up15（^))＝0.3x－0.4。②由于变量y的值随x值的增加而增加(eq\o（b,\s\up15（^））＝0.3>0),故x与y之间是正相关．③将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为eq\o(y，\s\up15（^)）＝0.3×7－0。4＝1。7(千元)．答案：(1)C热点三独立性检验【例3】某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：如图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主．（1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下表所示的2×2列联表:主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上合计（3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析．【解】(1)30位亲属