数字信号处理课件第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法课件

第5章时域离散系统的基本网络结构与

状态变量分析法5.1引言5.2用信号流图表示网络结构5.3无奶长脉冲响应基本网络结构5.4有限长脉冲响应基本网络结构5.5状态变量分析法

1课件5.1引言一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程其系统函数H(z)为2课件给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：3课件图5.2.1三种基本运算的流图表示5课件和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中，(5.2.1)6课件图5.2.2信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图7课件例5.2.1求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。解将5.2.1式进行z变换，得到经过联立求解得到：9课件FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(5.2.2)式，h(n)表示为其它n10课件另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。11课件图5.3.1IIR网络直接型结构13课件例5.3.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解由H(z)写出差分方程如下：14课件图5.3.2例5.3.1图15课件式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)(5.3.3)式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。17课件图5.3.3一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构18课件例5.3.2设系统函数H(z)如下式：试画出其级联型网络结构。解将H(z)分子分母进行因式分解，得到

19课件式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为(5.3.4)式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)21课件例5.3.3画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。22课件图5.3.5例5.3.3图23课件1.直接型按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。图5.4.1FIR直接型网络结构25课件2.级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。例5.4.1设FIR网络系统函数H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出H(z)的直接型结构和级联型结构。26课件要求频率域采样点数N≥M。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请读者分析IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。将(5.4.1)式写成下式：(5.4.2)式中Hc(z)是一个梳状滤皮网络(参考第八章)，其零点为29课件图5.4.3FIR滤波器频率采样结构30课件(1)在频率采样点ωk，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。31课件然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。(2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为(5.4.3)32课件另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我们将hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则33课件显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.4.4(a)所示。当N为偶数时，h(z)可表示为式中(5.4.4)34课件式中，H(0)和H(N/2)为实数。(5.4.4)式对应的频率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成，如图5.4.4(b)所示。图5.4.4频率采样修正结构35课件当N=奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为(5.4.5)36课件

5.5状态变量分析法

1.状态方程和输出方程状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和输出方程。状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来。37课件图5.5.1是二阶网络基本信号流图，有两个延时支路，因此建立两个状态变量w1(n)和w2(n)。下面建立流图中其它节点w′2和输出y(n)与状态变量之间的关系。

(5.5.1)(5.5.2)(5.5.3)将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：(5.5.4)38课件图5.5.1二阶网络基本信号流图39课件图5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图，两个延时支路输出节点定为状态变量w1(n)和w2(n)。按照信号流图写出以下方程：40课件图5.5.2一般二阶网络基本信号流图41课件将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：(5.5.6)(5.5.7)再用矩阵符号表示：(5.5.8)(5.5.9)42课件式(5.5.8)和式(5.5.9)分别称为图5.5.2二阶网络的状态方程和输出方程。如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号：x1(n),x2(n),…,xM(n)，L个输出信号y1(n),y2(n),…，yL(n)，则状态方程和输出方程分别为(5.5.10)(5.5.11)式中43课件图5.5.3状态变量分析法44课件例5.5.1建立图5.5.4流图的状态方程和输出方程。

图5.5.4例5.5.1图45课件信号流图中有两个延时支路，分别建立两个状态变量w1(n)和w2(n)(如图5.5.4所示)，然后列出延时支路输入端节点方程如下：

将上式写成矩阵方程：(5.5.12)46课件输出信号y(n)的方程推导如下：y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)将上面w1(n+1)的方程代入上式：

y(n)=a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)47课件例5.5.2直接写出图5.5.4信号流图的A、B、C和D参数矩阵。解要注意：从wi(n)到输出节点可能不止一条通路，要把所有通路增益加起来，即d表示从输入节点到输出节点的通路增益，这里d=d0，最后得到四个参数矩阵为48课件例5.5.3已知系统函数H(z)为(1)画出H(z)的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。49课件图5.5.5例5.5.3图50课件在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如图5.5.5所示)。写出状态变量w1(n+1)=-0.5w1(n)+2x(n)w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)w3(n+1)=w2(n)将以上三个方程写成矩阵方程：51课件输出方程为y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。y(n)=［-1.5-0.514-0.11］［w1(n)w2(n)w3(n)］T+2x(n)52课件例5.5.4已知FIR滤波网络系统函数H(z)为解画出直接型结构如图5.5.6所示，在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：y(n)=［a1a2a3］［w1(n)w2(n)w3(n)］T+a0x(n)53课件图5.5.6例5.5.4图54课件2.由状态变量分析法转换到输入输出分析法把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下：W(n+1)=AW(n)+Bx(n)(5.5.14)y(n)=CW(n)+dx(n)(5.5.15)将上面两式进行Z变换zW(z)=AW(z)+BX(z)(5.5.16)Y(z)=CW(z)+dX(z)(5.5.17)

55课件式中W(z)=［W1(z)W2(z)…WN(z)］TWi(z)=ZT［wi(n)］X(z)=ZT［x(n)］Y(z)=ZT［y(n)］由(5.5.16)式得到：W(z)=［zI-A］-1BX(z)(5.5.18)将上式代入(5.5.17)式，得到：(5.5.19)56课件例5.5.5已知二阶网络的四个参数矩阵如下：求该网络的系统函数。解57课件系统频响决定于H(z)的零、极点分布。设H(z)=B(z)/A(z)，其极点为A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到：A(z)多项式称为A矩阵的特征多项式，其根为A矩阵的特征值，因此A矩阵的特征值就是H(z)的极点。如果A矩阵全部特征值的模均小于1，系统因果稳定，否则系统因果不稳定。(5.5.20)58课件z2-3z+2=0特征值λ1=1,λ2=2极点z1=１，z2=2将状态方程重写如下：W(n+1)=AW(n)+Bx(n)59课件方程式左端是n+1时刻的状态变量矢量，右端是n时刻的状态变量矢量和输入x(n)的线性组合。由起始值W(n0)，用递推法求出W(n)的时域解：n=n0时，W(n0+1)=AW(n0)+Bx(n0)n=n0+1时，W(n0+2)=AW(n0+1)+Bx(n0+1)=A［AW(n0)+Bx(n0)］+Bx(n0+1)=A2W(n0)+ABx(n0)+Bx(n0+1)…n=n0+k时W(n0+k+1)=Ak+1W(n0)+AkBx(n0)+Ak-1Bx(n0+1)+…+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)60课件令n′=n0+k+1，则将n′换成n，则(5.5.21)为求单位脉冲响应，将(5.5.15)式中的x(n)用δ(n)代替，W(n)用(5.5.21))式中的零状态响应代替，且令n0=0，此时y(n)=h(n)，得到：61课件(5.5.22)(5.5.23)62课件例5.5.6求图5.5.7所示的N阶FIR格形网络的系统函数以及单位脉冲响应。图5.5.7例5.5.6图63课件解首先建立状态变量w1(n),w2(n),…,wN(n)，如图所示。这种网络没有反馈支路，直接写出各参数矩阵：设N=2，则有64课件将上式进行Ｚ反变换，得单位取样响应：h(n)=δ(n)+k1(1+k2)δ(n-1)+k2δ(n-2)如果用(5.5.22)式求h(n)，也得到同样的结果，但要求A矩阵的n-1次幂。关于求矩阵的幂，请参考本书附录B。65课件3.线性变换下面研究在不改变系统传输函数的条件下，如何对状态变量进行线性变换。设T是N×N非奇异矩阵。系统中有N个延时支路。令G(k)=T-1W(k)(5.5.25)G(k+1)=T-1W(k+1)=T-1［AW(k)+BX(k)］=T-1ATG(k)+T-1BX(k)