广东省清远市小三江中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

广东省清远市小三江中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】本题可以先计算出6人平均分成3个小组一共有多少种可能，在计算出每个小组恰好有1名教师和1名学生有多少种可能，然后得出结果。【详解】将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数，所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为，故选B。

2.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为______.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图3.若且2=2，则的最小值是（

）

A．2

B．

C.

D．参考答案：D4.已知等比数列的前项和为，且则A． B．4 C．2 D． 参考答案：C5.若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B． C． D．参考答案：D【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0，即3+2a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：D．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．6.已知函数的图象恒过定点若点在直线上，其中，则的最小值为

（

）高考资源网A．

B．

C．4

D．8参考答案：D略7.已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A． B．1 C．2 D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可． 【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上， 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直， 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行， 所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2． 故选C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．8.已知是双曲线的右焦点，是双曲线的中心，直线是双曲线的一条渐近线，以线段为边作正三角形，若点在双曲线上，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：因为直线是双曲线的一条渐近线,所以，又在双曲线上，三角形是正三角形，所以，，化为，，因为可解得，故选A.考点：1、双曲线的几何性质；2、双曲线的渐近线.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单几何性质以及利用性质求双曲线的渐近线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要注意结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.9.若是的重心，分别是角的对边，若

则角（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D略10.己知点Z1，Z2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，若向量对应复数z，则复数z对应点位于(

)．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：B【分析】求出向量的坐标表示，然后确定复数对应点的位置.【详解】因为点，的坐标分别为(1，0)，(0，1)，所以,所以复数对应点位于第二象限，故本题选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=

.参考答案：2略12.复数的虚部为______．参考答案：试题分析：，所以虚部为.考点：复数的代数运算.13.已知中的内角为，重心为，若，则

.参考答案：略14.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为

．参考答案：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．15.在平面直角坐标系中，已知点，，从直线上一点向圆引两条切线，，切点分别为，.设线段的中点为，则线段长的最大值为

．参考答案：16.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．参考答案：考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．解答：解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．17.已知函数，若成立，则＝________.参考答案：因为f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4?a＝－1或a＝.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为.(1)求曲线C1的极坐标方程及C2的直角坐标方程；(2)点P为C1上任意一点，求P到C2距离的取值范围参考答案：(1)∵C1的直角坐标方程为，∴C1的极坐标方程为， ∵，∴，∴C2的直角坐标方程为……5分(2)∵曲线C1的参数方程为（为参数），∴设P(，) ∴点P到直线C2的距离为d＝， ∴点P到直线C2的距离的取值范围为，……10分19.(本小题满分13分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为。

①求四边形APBQ面积的最大值；

②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断+的值是否为常数，并说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

.

………………1分

由已知b=

离心率

,得

所以，椭圆C的方程为.

……………4分（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为

，，则，……………5分设AB(),直线AB的方程为，代人得：.由△>0,解得，由根与系数的关系得

………7分四边形APBQ的面积故当

…②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率则

………10分==，由①知可得所以的值为常数0.

……………………13分

略20.（12分）设，其中．（1）当时，求的极值点；（2）若为R上的单调函数，求的取值范围．参考答案：对求导得①

（1）当时，若，则，解得

结合①，可知x+0_0+↗极大值↘极小值↗

所以，是极小值点，是极大值点．------------------6分

（2）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知

在R上恒成立，因此，

由此并结合a>0，知．-----------------12分略21.已知函数（其中）（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.22.（17分）如图所示，过抛物线C：x2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点Q是点P关于原点的对称点．（Ⅰ）求证：x1x2=﹣4m；（Ⅱ）若=λ，且⊥（﹣μ），求证：λ=μ．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设出直线l的方程，得到方程组，表示出x1?x2即可；（