广东省汕头市潮阳六都中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

广东省汕头市潮阳六都中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的图象过点（1，2），若有4个不同的正数xi满足g（xi）=M，且xi＜8（i=1，2，3，4），则x1+x2+x3+x4等于(

)A．12 B．20 C．12或20 D．无法确定参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象．【专题】计算题．【分析】先由g（x）过点（1，2），求得φ，进而求得函数g（x），再由g（x）=M在两个周期之内有四个解，则在一个周期内必有两个解，表示出四个解来相加可得．【解答】解：因为：函数g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的图象过点（1，2），∴1﹣cos（+2φ）=2，∴sin2φ=1，∴φ=∴g（x）=1﹣cos（x+）=1+sinx．∵g（x）=M在两个周期之内竟然有四个解，∴sinx=1﹣M在一个周期内有两个解当1﹣M＞0时，四个根中其中两个关于x=11对称，另两个关于x=5对称，故其和为2×1+5×2=12．当1﹣M＜0时，四个根中其中两个关于x=3对称，另两个关于x=7对称，故其和为2×3+7×2=20．综上得：x1+x2+x3+x4=12或20．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相应的规律，与周期有关．2.已知向量，且，则的最小值为

（

）

A．

B．

C．

D．1参考答案：C略3.已知函数，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.在△ABC中,,,E,F为BC的三等分点,则?=(

) A．

B．

C．

D．参考答案：B5.执行如图所示的程序框图，如果输入,则输出的的值是

（

）参考答案：C6.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（

）A.[－1,1] B.[－1,10] C.[1,12] D.[－1,12]参考答案：B【分析】画出约束条件表示的可行域，求目标函数的范围转化为求直线的截距范围求解即可．【详解】约束条件的可行域如下图（阴影部分）联立可得可得设，则，作出直线，平移可知在取得最小值，在取得最大值，代入可得，故答案为B【点睛】本题考查线性规划问题，属于基础题,同时体现数形结合在解题中的重要性．7.已知曲线C：与直线L：，则C与L的公共点A.有2个

B.

最多1个

C.

至少1个

D.

不存在参考答案：C8.已知向量=，=，若⊥，则||=（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B9.已知p为直线x+y﹣2＝0上的点，过点p作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点p有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个参考答案：B连接，则四边形为正方形，因为圆的半径为，，原点（圆心）到直线距离为符合条件的只有一个，故选B.10.在正项等比数列中，已知，，，则

A.11

B.12

C.14

D.16参考答案：C由与可得，，因此，所以，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)是奇函数，当时，，则的值为______参考答案：【分析】先求出的值，设为，判断是否大于零，如果大于零，直接求出的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质，进行求解。【详解】=，，函数是奇函数，所以的值为。【点睛】本题考查了奇函数性质、对数的运算。12.在正方体中，下列叙述正确的是①过点仅能作一条直线与平面和平面都平行；②过点仅能作两条直线与平面和平面均成；③过点能做四条直线与直线所成角都相等；④过点能作一条直线与直线都相交；⑤过点、的平面截正方体所得截面的最大值与正方形的面积比为。参考答案：①②③⑤略13.DABC中,DC=90o,DB=30o,AC=2,M是AB的中点.将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为2，此时三棱锥A－BCM的体积等于

．参考答案：解：由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2，由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=，DE=，CE=．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，cos∠ECA=．∴AE2=CA2+CE2－2CA·CEcos∠ECA=，于是AC2=AE2+CE2．T∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，TAE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A－BCM的高，AE=．S△BCM=，VA—BCM=．14.已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为

．参考答案：πa2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：延长F2S交F1P的延长线于Q，可证得PQ=PF2，且S是PF2的中点，由此可求得OS的长度是定值，即可求点S的轨迹的几何特征．解答： 解：由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为S，延长F2S交F1P的延长线于Q，得PQ=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，连接OS，知OS是三角形F1F2Q的中位线，∴OS=a，即点M到原点的距离是定值a，由此知点S的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．同理可得，点R的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．故点R，S所形成的图形的面积为πa2．点评：本题考查求轨迹方程，关键是证出OS是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出QF1的长度，进而求出OS的长度，再利用圆的定义得出点M的轨迹是一个圆，属于难题．15.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）参考答案：1080

16.已知向量满足，则的夹角为_________参考答案：17.已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为

参考答案：。，∴∴围成的面积=+=。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)数列中，，（）。（Ⅰ）求，，，；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）设，存在数列使得，求数列的前项和．参考答案：解析：（Ⅰ）当时，有；当时，有；……∴，，，．……………4分（Ⅱ）∵，……………………6分∴

∴……8分∴是首项为，公比为2的等比数列。∴………10分（Ⅲ）由，得，∴，，∵，∴，即………………12分令…………13分令…①则…②②一①得∴．………………14分19.已知函数f（x）=x|x﹣a|（a∈R）（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）＜x；（2）若对任意的x∈（0，4]都有f（x）＜4，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＜x即x|x﹣2|＜x，再分x＞0、x＜0两种情况，分别求得x的范围，可得不等式f（x）＜x的解集．（Ⅱ）由题意可得对任意的x∈（0，4]，都有f（x）＜4，即x﹣＜a＜x+恒成立．设g（x）=x﹣，p（x）=x+，利用导数求的g（x）的最大值和p（x）的最小值，可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＜x即x|x﹣2|＜x，显然x≠0，当x＞0时，原不等式可化为：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3．当x＜0时，原不等式可化为：|x﹣2|＞1，即x﹣2＞1或x﹣2＜﹣1，求得x＜0．

综上得：当a=2时，原不等式的解集为{x|1＜x＜3或x＜0}．（Ⅱ）∵对任意的x∈（0，4]都有f（x）＜4，即﹣4＜x（x﹣a）＜4，对任意的x∈（0，4]都有x﹣＜a＜x+恒成立．设g（x）=x﹣，p（x）=x+，x∈（0，4]，如图所示：问题等价于x∈（0，4]时，g（x）max＜a＜p（x）min．∵g′（x）=1+＞0，∴函数g（x）在（0，4]上单调递增，g（x）max=g（4）=3．又∵p′（x）=1﹣=，∴p（x）在（0，2]上递减，在[2，4]上递增，∴p（x）min=p（2）=4a∈（3，4）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．20.（本小题10分，矩阵与变换）已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量.（Ⅰ）求矩阵；

（Ⅱ）写出矩阵的逆矩阵.参考答案：（Ⅰ）由题知，=……………4分…………………6分（Ⅱ）……………10分21.已知函数f（x）=x3－ax+1．（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=﹣x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．参考答案：（I）∵f'（x）=x2﹣a.......................................................1当x=1时，f（x）取得极值，∴f'（1）=1﹣a=0，a=1．......................3又当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意

.........................4

（II）当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，1]成立，∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．当a＞0时，令f'（x）=x2﹣a=0，，当0＜a＜1时，，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在处取得最小值．当a≥1时，，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减所以f（x）在x=1处取得最小值．综上所述：当a≤0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．当0＜a＜1时，f（x）在处取得最小值．当a≥1时，f（x）在x=1处取得最小值．.................................10（III）因为?m∈R，直线y=﹣x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f'（x）=x2﹣a≠﹣1对