广东省汕头市和睦初级中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试卷含解析

广东省汕头市和睦初级中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是（）A．若m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，则α⊥β C．若m⊥n，则α∥β D．若m∥n，则α∥β参考答案：B【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】乘法利用空间线面平行和面面平行的判定定理和性质定理对选项分别分析选择．【解答】解：由已知m∥α，n⊥β，对于A，若m⊥n，则α、β可能平行；如图对于B，若m∥n，得到m⊥β由面面垂直的判定定理可得α⊥β；故B正确；对于C，若m⊥n，则α、β有可能相交；如图对于D，若m∥n，则m⊥β，由线面垂直的性质以及面面垂直的判定定理可得，α⊥β；故D错误．故选B2.已知，则的值等于（）A.－2 B.4 C.2 D.－4参考答案：B试题分析：本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，，，.考点：分段函数.3.sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于()A．－

B.

C．－

D.参考答案：B4.若平面和直线a，b满足，，则a与b的位置关系一定是（

）A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面参考答案：D【分析】当时与相交，当时与异面.【详解】当时与相交，当时与异面.故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m参考答案：B【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．6.已知全集为R，集合A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣2}，则A∪B=(

)A．R B．{x|﹣2≤x≤1} C．A D．B参考答案：A【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵全集为R，A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣2}，∴A∪B=R，故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．7.下列各组函数中表示同一函数的是A．与

B．与C．与

D．与参考答案：D略8.若函数是一个单调递增函数，则实数的取值范围A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知点A(-5,4)、B(3,2),过点C(-1,2),且与点A、B的距离相等的直线方程是（

）A.x+4y-7=0

B.4x-y+7=0C.x+4y-7=0或x+1=0

D.x+4y-7=0或4x-y+7=0参考答案：C略10.在映射，且，则与中的元素对应的中的元素为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则=_______参考答案：12.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=（

）

A．

B．

C．

D．4参考答案：C略13.若集合，，则中元素的个数为________．参考答案：4略14.已知集合M={（x，y）|y=﹣x+1}，N={（x，y）|y=x﹣1}，那么M∩N为．参考答案：{（1，0）}【考点】交集及其运算．【分析】运用联立方程解方程，再由交集的定义，注意运用点集表示．【解答】解：集合M={（x，y）|y=﹣x+1}，N={（x，y）|y=x﹣1}，那么M∩N={（x，y）|}={（1，0）}．故答案为：{（1，0）}．15.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下部分是长方体ABCD-EFGH.图5和图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。（I）请画出该安全标识墩的侧(左)视图；（II）求该安全标识墩的体积；（III）证明:直线BD平面PEG。参考答案：（1）侧视图同正视图,如下图所示.

……………4分（2）该安全标识墩的体积为：…8分（3）如图，连结EG，HF及BD，EG与HF相交于O，连结PO.

由正四棱锥的性质可知,

平面EFGH,

又

平面PEG

又

平面PEG．

………………12分

略16.（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为

．参考答案：考点： 正弦定理；余弦定理．专题： 计算题；解三角形．分析： 利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解答： 由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．点评： 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．17.已知圆台的上、下底面半径分别是，且侧面面积等于两底面积之和，则圆台的母线长等于

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)设函数f(x)＝，其中向量＝(2cosx,1)，＝(cosx，sin2x＋m)．(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．(2)当x∈时，－4<f(x)<4恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：略19.求圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【分析】设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），由圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），可以构造a，b，r的方程组，解方程组可得a，b，r的值，进而得到圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）由题意有：解之得∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=820.设是一个公差为的等差数列，它的前项和且，，成等比数列．（）证明．（）求公差的值和数列的通项公式．参考答案：【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；85：等差数列的前项和．【分析】（）由已知可得，代入等差数列的通项可转化为，整理可得（）结合（）且有，联立方程可求，及．【解答】（）证明：因，，成等比数列，故，而是等差数列，有，，于是，即，化简得．（）解：由条件和，得到，由（），，代入上式得，故，，因此，数列的通项公式为．21.如图，在河的对岸可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40米的两个目标物P，Q两点，测得，，，，试求两个目标物Ｍ，Ｎ之间的距离.参考答案：解：根据题意，知

，在中，由正弦定理，得

即

………4分在中，由正弦定理，得

即

………8分在中，由余弦定理，知

故

从而

………12分故两个目标物M、N之间的距离是米略22.设关于的不等式的解集为，不等式的