广东省梅州市长田中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

广东省梅州市长田中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：B【考点】集合的运算由得，由得，，，故选B.2.已知函数，下面结论错误的是（

）A．函数的最小正周期为

B．函数是偶函数C．函数的图象关于直线对称

D．函数在区间上是增函数参考答案：C略3.已知{an}为等比数列且满足a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，则数列{an}的前5项和S5=（）A．15 B．31 C．40 D．121参考答案：B【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的通项公式列方程组求出a1公比q，再计算数列{an}的前5项和．【解答】解：等比数列{an}中，a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，∴，∴=10，即q（q2+1）=10，∴q3+q﹣10=0，即（q﹣2）（q2+2q+5）=0，∴q﹣2=0或q2+2q+5=0，解得q=2，∴a1=1；∴数列{an}的前5项和为S5===31．故选：B．4.设i是虚数单位，则复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数===1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，故选C．6.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A略7.二次函数方程有两个小于1的不等正根，则a的最小值为（）（A）2

（B）3

（C）4

（D）5参考答案：D8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5．06x－0．15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（

）

A．45．606

B．45．6

C．45．56

D．45．51

参考答案：B9.设偶函数f（x）满足f（x）＝2x－4（x≥0），则{x｜f（x－2）＞0}＝

A．{x｜x＜－2或x＞4}

B．{x｜x＜0或x＞4}

C．{x｜x＜0或x＞6}

D．{x｜x＜－2或x＞2}参考答案：B10.已知其导函数的图象如右图，则函数的极小值是

A．

B．

C．

D．c

参考答案：D由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.理：已知实数、满足，则的取值范围是

.参考答案：12.若双曲线的渐近线与抛物线的准线相交于A,B两点，且△OAB（O为原点）为等边三角形，则=_______.参考答案：4略13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为

．参考答案：81【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=3，S4=16，∴a1+d=3，4a1+d=16，解得a1=1，d=2．则S9=9+×2=81．故答案为：81．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为

．参考答案：3【考点】导数的乘法与除法法则．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．【解答】解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna?axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a11=3a6－4，则则Sn=

。参考答案：略16.若向量满足且则向量的夹角为__________.参考答案：

17.的展开式中，x3的系数是

.（用数字填写答案）参考答案：10试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）若的最小值不小于3，求的最大值；（2）若的最小值为3，求的值.参考答案：（1）因为，所以，解得，即；（2），当时，，所以不符合题意，当时，，即，所以，解得，当时，同法可知，解得，综上，或-4.19.（12分）．已知函数，（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调减区间；

2

1

x

0

-1

-2

（3）试列表描点画出函数的图象，由图象研究并写出的对称轴和对称中心.

参考答案：解：（1），（2）由得，所以，减区间为（3）无对称轴，对称中心为（）20.已知向量

（I）求的最小正周期与单调递增区间；

（II）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若的面积，求a的值。参考答案：(Ⅰ)………（3分）∴的最小正周期为＝，………（4分）由得∴的单调递增区间为

………（6分）(Ⅱ)＝4得即∵∴，即A＝

………（8分）又∴∴

…………（10分）在△ABC中由余弦定理有∴

…………（12分21.已知椭圆C：的焦距为，以椭圆C的右顶点A为圆心的圆与直线相交于P，Q两点，且，.（1）求椭圆C的标准方程和圆的方程；（2）不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率，，成等比数列，记以线段OM，线段为ON直径的圆的面积分别为，，的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由.参考答案：（Ⅰ）椭圆的方程为，圆的方程为；（Ⅱ）为定值，定值为.解：（Ⅰ）如图，设为的中点，连接，则，因为，即，所以，又，所以，所以，所以．

………………2分由已知得,所以椭圆的方程为，

……4分所以，所以，所以，所以圆的方程为．

………………6分（Ⅱ）设直线的方程为，由，得，所以，由题设知，

………………8分

………………10分则故为定值，该定值为．…