广东省梅州市胜青中学2023年高一数学文联考试题含解析

广东省梅州市胜青中学2023年高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若A（﹣4，2），B（6，﹣4），C（12，6），D（2，12），下面四个结论正确的个数是（） ①AB∥CD； ②AB⊥AD； ③|AC|=|BD|； ④AC⊥BD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：D【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】首先由点的坐标顶点向量的坐标，然后进行坐标的运算判断即可． 【解答】解：由已知得到=（10，﹣6）；=（﹣10，6）；=（6，10）；=（16，4），=（﹣4，16）， 所以，=60﹣60=0，，=﹣64+64=0，所以①AB∥CD； ②AB⊥AD； ③|AC|=|BD|； ④AC⊥BD，都正确； 故选：D． 【点评】本题考查了利用平面向量的位置关系判断平面几何的直线与直线的位置关系，体现了向量的工具性． 2.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象

A向左平移个单位长度

B向右平移个单位长度

C向左平移个单位长度

D向右平移个单位长度参考答案：解析:由题知，所以，故选择A。3.（5分）直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（） A． B． C． D． 参考答案：D考点： 直线与圆相交的性质．专题： 计算题．分析： 先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．解答： 圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==弦长|EF|=原点到直线的距离d=∴△EOF的面积为故选D．点评： 本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用和灵活运用能力．4.某人从2011年起，每年1月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率为r保持不变，每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期，到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)(

)A.a(1+r)5

B.［(1+r)5-(1+r)］

C.a(1+r)6

D.［(1+r)6-(1+r)］

参考答案：B略5.已知，不等式对一切实数都成立}，那么下列关系中成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.在同一直角坐标系中，函数（且）的图像可能是（▲）

A

B

C

D参考答案：D7.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，则该函数的解析式为

(

)A.

B.C.

D.

参考答案：D略8.甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==6，利用列举法求出甲、乙的红包金额不相等包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙的红包金额不相等的概率．【解答】解：甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，基本事件总数n==6，甲、乙的红包金额不相等包含的基本事件有：甲、乙的红包金额分别为（1，5），（5，1），∴甲、乙的红包金额不相等的概率为p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．9.三个数，，之间的大小关系是（）A．.

B.

C.

D.

参考答案：C10.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=（1，），=（3，m），若向量的夹角为，则实数m=

．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式，求得实数m的值．【解答】解：∵向量=（1，），=（3，m），若向量的夹角为，则=||?||?cos，即3+m=2??，求得m=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式，属于基础题．12.平面向量中，若，=1，且，则向量=____。参考答案：

解析：方向相同，13.关于有以下命题：①若则；②图象与图象相同；③在区间上是减函数；④图象关于点对称。其中正确的命题是

．参考答案：②③④14.如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为．参考答案：41π【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】连结BD交CE于O，连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，推导出DP=3，四棱锥P﹣ABCD外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，从而求出四棱锥P﹣ABCD外接球的半径，由此能求出四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．【解答】解：连结BD交CE于O，则==，连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，则=，∵F是DD1的中点，DD1=4，∴DP=3，又四棱锥P﹣ABCD外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为：=．外接球的表面积为：4=41π．故答案为：41π．15.已知x∈R，符号表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为

．参考答案：④【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．【解答】解：由于符号表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．16.已知tanα＝2，则＝_____________.参考答案：略17.函数f（x）对于任意实数x满足条件，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=．参考答案：【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】路函数的周期性求出函数的周期，然后最后求解函数值即可．【解答】解：∵函数f（x）对于任意实数x满足条件，∴f（x+4）=f[（x+2）+2]===f（x），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，∵f（1）=﹣5∴f[f（5）]=f[f（1）]=f（﹣5）=f（3）==﹣．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设①若的单位向量，求x；②设，求f（x）的单调递减区间．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】①运用向量模的定义，解方程，即可得到x；②运用向量的数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的单调减区间，解不等式即可得到．【解答】解：①由，∴或2x=2k，解得或；②=2（sin2xcos2x）﹣3=2sin（2x）﹣3，由2k2x≤2kπ，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故f（x）单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．19.（15分）设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.

（1）设，求证：数列是等比数列，

（2）求出的通项公式。

（3）求数列的前n项和.参考答案：（1）对于任意的正整数都成立，两式相减，得∴，即，即对一切正整数都成立。∴数列是等比数列。由已知得

即∴首项，公比，。。20.已知点A、B、C、D的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,).(1)若||=||，求角α的值；(2)若·=-1，求的值.（3）若在定义域α∈(,)有最小值，求的值。参考答案：(2)由·=-1得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=.

6分又=2sinαcosα.

7分由①式两边平方得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=.

8分∴.

9分（3）依题意记

10分令

(,)

11分关于的二次函数开口向上，对称轴为

在上存在最小值，则对称轴

12分且当时，取最小值为

14分

21.化简求值（12分）．（1）(2)；

参考答案：（1）

（2）-122.设函数,（1）若不等式的解集为(－1,3)，求的值；（2）若，求的最小值．（3）若求不等式的解集.参考答案：（1）2；（2）；（3）分类讨论，详见解析.【分析】（1）根据不等式与相应的方程之间的关系得出关于的方程组，求解可得出的值；（2）由得，再代入中运用均值不等式可求得最小值；（3）由已知将不等式化为，即，对分①，②，③，④四种情况分别讨论得出不等式的解集.【详解】（1）由不等式解集为可得：方程的两根为，3且,由根与系数的关系可得：，所以（2）由已知得,则，当时，，所以（当且仅当时等号成立）