2018届数学复习第三章三角函数、解三角形课时作业20两角和与差的正弦、余弦和正切公式（含解析）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE12学必求其心得，业必贵于专精课时作业20两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，2),π）），sinα＝eq\f(3，5)，则tan2α＝（）A。eq\f（24,7） B。eq\f(24，25)C．－eq\f（24,25) D．－eq\f（24，7）解析：∵α∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,2），π）),sinα＝eq\f（3，5)，∴cosα＝－eq\f（4，5)，∴tanα＝－eq\f（3,4）。∴tan2α＝eq\f（2tanα，1－tan2α）＝eq\f（2×\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（3，4))），1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3,4))）2)＝－eq\f（24,7)。答案：D2．(2016·新课标全国卷Ⅲ）若tanθ＝－eq\f(1，3)，则cos2θ＝（)A．－eq\f(4，5) B．－eq\f（1,5)C.eq\f（1,5) D.eq\f(4，5)解析：由tanθ＝－eq\f(1,3），得sinθ＝－eq\f(\r(10)，10)，cosθ＝eq\f(3\r（10），10）或sinθ＝eq\f(\r(10），10）,cosθ＝－eq\f（3\r（10),10)，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f（4，5),故选D.答案：D3．已知cosα＝eq\f(3，5），cos(α＋β)＝－eq\f(5，13)，α，β都是锐角，则cosβ＝（）A．－eq\f(63，65） B．－eq\f（33，65）C。eq\f（33,65) D。eq\f(63，65）解析:∵α，β是锐角，∴0〈α＋β<π，又cos(α＋β）＝－eq\f(5,13）〈0，∴eq\f(π，2)<α＋β<π，∴sin（α＋β）＝eq\f（12，13)，sinα＝eq\f(4,5)。又cosβ＝cos(α＋β－α）＝cos（α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f（5，13)×eq\f（3，5）＋eq\f（12,13）×eq\f（4，5)＝eq\f（33,65)。答案:C4．（2017·广东汕头质量检测）已知sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6）))＝eq\f（1,3)，则coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2α－\f(2π,3）)）的值是(）A。eq\f(7,9) B。eq\f(1，3）C．－eq\f(1,3) D．－eq\f（7,9）解析:sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，6)）)＝sineq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（π，2）－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α）)))＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,3）－α)）＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－\f(π，3)))，所以coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2α－\f(2π,3）))＝2cos2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f（π，3）)）－1＝2×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3））)2－1＝－eq\f(7，9）,故选D。答案：D5．已知α、β都是锐角,若sinα＝eq\f（\r(5)，5)，sinβ＝eq\f(\r(10），10），则α＋β等于（）A.eq\f(π，4) B.eq\f（3π,4)C.eq\f（π,4）和eq\f（3π，4） D．－eq\f(π,4)和－eq\f(3π，4)解析：由α、β都为锐角，所以cosα＝eq\r（1－sin2α）＝eq\f(2\r(5),5），cosβ＝eq\r(1－sin2β）＝eq\f（3\r（10）,10).所以cos（α＋β）＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝eq\f（\r（2)，2),所以α＋β＝eq\f(π,4）。故选A.答案：A6．(2017·河北石家庄质检）设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin（2α－β）＋sin(α－2β）的取值范围为()A．[－eq\r（2），1］ B．[－1，eq\r（2)］C．［－1，1] D．[1，eq\r（2)］解析：∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1⇒sin(α－β)＝1,α，β∈［0，π]，∴α－β＝eq\f（π，2），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2）≤π，）)⇒eq\f(π，2）≤α≤π，∴sin（2α－β)＋sin(α－2β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2α－α＋\f(π,2）))＋sin(α－2α＋π)＝sinα＋cosα＝eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4)））。∵eq\f（π，2）≤α≤π，∴eq\f(3π，4)≤α＋eq\f(π,4)≤eq\f(5,4)π，∴－1≤eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))≤1，即取值范围是［－1,1]，故选C。答案：C二、填空题7．sin15°＋sin75°的值是________．解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝eq\r（2)sin（15°＋45°）＝eq\r（2)×eq\f(\r（3),2）＝eq\f（\r（6）,2）.答案:eq\f(\r(6),2）8．(2017·吉林东北师大附中等三校联考)函数f（x）＝cos2x－2sinx的值域为________．解析：f（x)＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f（1,2)))2＋eq\f（3，2)，又sinx∈［－1,1]，∴f（x）∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－3,\f（3,2）)),函数f（x）的值域为eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－3，\f(3，2))）。答案：[－3,eq\f(3,2)］9．(2017·河北衡水中学一调）若tanα＋eq\f（1，tanα）＝eq\f（10，3),α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π,4），\f（π,2）)）,则sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2α＋\f（π,4）))＋2coseq\f(π，4)cos2α的值为________．解析：∵tanα＋eq\f（1，tanα)＝eq\f(10，3)，∴(tanα－3）（3tanα－1)＝0，∴tanα＝3或eq\f（1，3)。∵α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，4)，\f(π，2）))，∴tanα〉1，∴tanα＝3，sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2α＋\f（π，4)))＋2coseq\f（π,4）cos2α＝eq\f(\r(2），2）sin2α＋eq\f（\r（2),2)cos2α＋eq\f（\r（2)1＋cos2α,2)＝eq\f(\r（2),2）(sin2α＋2cos2α＋1)＝eq\f（\r（2），2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2tanα,1＋tan2α)＋2\f(1－tan2α,1＋tan2α)＋1））＝eq\f(\r(2)，2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(6，10)－\f（16，10）＋1)）＝0。答案：010．（2017·广东广州五校联考）函数f（x)＝4cosx·sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，6)）)－1(x∈R）的最大值为________．解析:∵f（x)＝4cosxsineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,6)))－1＝4cosxeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3),2）sinx＋\f（1,2）cosx))－1＝2eq\r(3）sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，6))），∴f(x）max＝2。答案：2三、解答题11．已知函数f（x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.（1)求feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,6）)）的值；（2）若sinα＝eq\f（3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2)，π)),求feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（α，2）＋\f（π,24))）.解：（1）feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，6)））＝cos2eq\f(π,6）＋sineq\f（π，6)coseq\f（π，6)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3）,2）)）2＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3）,2)＝eq\f(3＋\r（3),4）.(2）因为f(x）＝cos2x＋sinxcosx＝eq\f(1＋cos2x，2）＋eq\f（1,2）sin2x＝eq\f（1,2）＋eq\f(1,2)（sin2x＋cos2x）＝eq\f(1,2）＋eq\f（\r(2）,2)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，4)）)，所以feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(α，2)＋\f（π,24））)＝eq\f(1,2）＋eq\f(\r(2），2）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,12)＋\f（π，4))）＝eq\f（1，2)＋eq\f(\r(2）,2)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，3)))＝eq\f(1，2）＋eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）sinα＋\f(\r（3）,2）cosα））。又因为sinα＝eq\f（3,5)，且α∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，π)），所以cosα＝－eq\f（4，5)，所以feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(α，2)＋\f（π,24）)）＝eq\f（1，2)＋eq\f（\r(2)，2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)×\f(3，5)－\f(\r(3）,2）×\f（4,5)))＝eq\f(10＋3\r（2）－4\r(6),20).12．已知0<α〈eq\f(π，2)〈β<π，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（β－\f(π，4）))＝eq\f(1，3)，sin（α＋β）＝eq\f（4,5)。(1)求sin2β的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，4）)）的值．解：（1）解法1:∵coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)）)＝coseq\f（π，4）cosβ＋sineq\f(π,4)sinβ＝eq\f（\r(2），2）cosβ＋eq\f（\r（2）,2)sinβ＝eq\f（1，3），∴cosβ＋sinβ＝eq\f（\r(2)，3),∴1＋sin2β＝eq\f(2，9)，∴sin2β＝－eq\f(7,9)。解法2：sin2β＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，2）－2β））＝2cos2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（β－\f(π,4）)）－1＝－eq\f(7,9)。（2)∵0<α<eq\f（π,2）<β<π，∴eq\f(π，4）<β－eq\f（π，4）〈eq\f(3，4）π，eq\f(π,2)<α＋β<eq\f（3π,2），∴sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（β－\f(π,4)）)>0，cos（α＋β)〈0.∵coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(β－\f(π，4)）)＝eq\f（1，3），sin(α＋β）＝eq\f(4，5），∴sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4）)）＝eq\f（2\r（2），3）,cos（α＋β)＝－eq\f（3，5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4））)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（α＋β－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(β－\f（π，4)））））＝cos(α＋β）coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(β－\f（π,4）))＋sin（α＋β)sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(β－\f（π,4）））＝－eq\f(3,5)×eq\f(1，3）＋eq\f(4,5）×eq\f(2\r（2)，3）＝eq\f（8\r(2）－3,15）。1．在斜三角形ABC中，sinA＝－eq\r（2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，则角A的值为（）A。eq\f（π，4） B。eq\f（π，3）C.eq\f(π，2) D。eq\f（3π，4）解析：由题意知，sinA＝－eq\r（2）cosB·cosC＝sin（B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC,在等式－eq\r(2）cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－eq\r(2），又tan(B＋C）＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝－1＝－tanA，即tanA＝1,所以A＝eq\f（π,4）。答案：A2．（2017·成都一诊）若sin2α＝eq\f(\r(5)，5)，sin(β－α）＝eq\f(\r（10）,10)，且α∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(π，\f（3π，2））)，则α＋β的值是(）A.eq\f(7π,4) B.eq\f（9π,4）C。eq\f（5π,4）或eq\f(7π,4） D.eq\f(5π，4)或eq\f（9π，4)解析:因为α∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，4），π))，所以2α∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(π，2）,2π）），又sin2α＝eq\f(\r（5),5),所以2α∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)，π))，α∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π,4)，\f（π，2)）)，故cos2α＝－eq\f（2\r（5),5)。又β∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(π，\f（3π，2)）)，所以β－α∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(π，2),\f（5π，4））），故cos(β－α)＝－eq\f(3\r（10）,10).所以cos（α＋β)＝cos[2α＋(β－α）]＝cos2αcos（β－α)－sin2αsin（β－α）＝－eq\f（2\r（5)，5)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r（10），10）））－eq\f(\r(5），5）×eq\f(\r(10）,10)＝eq\f（\r（2)，2），且α＋β∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(5π，4)，2π）），故α＋β＝eq\f（7π，4）.答案:A3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π，4）))＝eq\f(3，5)，则taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,4)）)＝________.解析：解法1：因为sin（θ＋eq\f(π，4)）＝eq\f(3，5），所以coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,4)））＝sineq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（π，2）＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,4）））)）＝sin(θ＋eq\f(π，4))＝eq\f（3,5)，因为θ为第四象限角，所以－eq\f（π，2）＋2kπ〈θ〈2kπ，k∈Z，所以－eq\f（3π，4）＋2kπ〈θ－eq\f(π，4）<2kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，所以sin(θ－eq\f(π,4)）＝－eq\r(1－\f(3，5)2）＝－eq\f（4,5)，所以taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4)))＝eq\f（sinθ－\f（π,4)，cosθ－\f(π,4)）＝－eq\f（4，3）.解法2：因为θ是第四象限角，且sin（θ＋eq\f（π,4))＝eq\f(3,5），所以θ＋eq\f(π，4）为第一象限角，所以cos(θ＋eq\f（π，4）)＝eq\f(4，5)，所以tan(θ－eq\f(π，4))＝eq\f（sinθ－\f(π,4）,cosθ－\f(π，4））＝eq\f（－cos[\f（π,2)＋θ－\f（π,4)]，sin［\f(π,2)＋θ－\f（π，4)］）＝－eq\f(cosθ＋\f(π,4），sinθ＋\f（π，4））＝－eq\f（4，3）。答案：－eq\f(4,3)4．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（ωx＋\f（π，4））)＋coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π，12）)）（ω>0）的最小正周期T＝4π.(1）求ω；(2）设x1,x2∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2），\f（π,2)）），求｜f（x1)－f（x2)|的最大值．解:(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（ωx＋\f（π,4))）＋coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\a