2018届数学复习第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系学案文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17-学必求其心得，业必贵于专精eq\o(\s\up7(第四节）,\s\do5())eq\o（\s\up7（直线与圆、圆与圆的位置关系),\s\do5（)）1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)，圆:(x－a）2＋（y－b）2＝r2(r〉0）,设d为圆心(a，b）到直线l的距离，联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交____________相切____________相离____________答案d<rΔ〉0d＝rΔ＝0d〉rΔ〈01．圆（x－1)2＋（y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心 D．相离解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq\f（|2×1－2－5｜,\r(22＋1）)＝eq\r（5）〈eq\r（6）。且2×1＋(－2）－5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心．答案:B2．(必修②P132A组第5题改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A,B两点,则｜AB｜＝________。解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得（x－1)2＋（y－2)2＝5,所以该圆的圆心坐标为（1,2),半径r＝eq\r（5），又圆心（1,2）到直线3x－y－6＝0的距离为d＝eq\f（|3－2－6｜,\r(9＋1)）＝eq\f（\r(10)，2),由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|，2）))2＝r2－d2，得|AB|2＝4eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（5－\f（5,2)））＝10,即|AB｜＝eq\r(10）.答案：eq\r（10)3．(2016·新课标全国卷Ⅰ）设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A,B两点，若｜AB｜＝2eq\r（3）,则圆C的面积为________．解析：圆C的方程可化为x2＋（y－a)2＝a2＋2,可得圆心的坐标为C（0，a），半径r＝eq\r（a2＋2)，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为eq\f（|－a＋2a｜,\r（2）)＝eq\f（|a｜，\r(2）），所以(eq\f(|a｜,\r(2)))2＋（eq\r(3）)2＝(eq\r（a2＋2）)2，解得a2＝2。所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π。答案：4π知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋（y－b1）2＝req\o\al(2，1)（r1〉0），圆O2：（x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al（2，2)（r2〉0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1,r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离________________相外切____________________相交____________________________________相内切______________________________内含__________________________答案d>r1＋r2无解d＝r1＋r2一组实数解|r1－r2｜〈d<r1＋r2两组不同的实数解d＝｜r1－r2｜(r1≠r2)一组实数解0≤d〈｜r1－r2|(r1≠r2)无解4．（2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r（2)。则圆M与圆N：(x－1）2＋(y－1)2＝1的位置关系是（）A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析:由题知圆M：x2＋(y－a）2＝a2，圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f（a，\r（2))，所以2eq\r(a2－\f（a2，2））＝2eq\r（2）,解得a＝2。圆M，圆N的圆心距｜MN|＝eq\r（2），两圆半径之差为1，故两圆相交．答案：B5．(必修②P133A组第9题改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0,，x2＋y2－4x＋4y－12＝0））得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.答案：x－y＋2＝0热点一直线与圆的位置关系【例1】(1）直线l:mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1）2＝5的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不确定(2）若直线y＝x＋b与曲线x＝eq\r(1－y2）恰有一个公共点，则b的取值范围是(）A．b∈(－1,1] B．b＝－eq\r(2）C．b＝±eq\r(2) D．b∈(－1，1]或b＝－eq\r(2)【解析】(1)方法1：由题意知，圆心(0，1）到直线l的距离d＝eq\f(|m｜，\r（m2＋1）)<1<eq\r（5），故直线l与圆相交．方法2:直线l:mx－y＋1－m＝0过定点(1，1),因为点(1，1)在圆x2＋（y－1）2＝5的内部,所以直线l与圆相交．(2）由x＝eq\r（1－y2)知，曲线表示半圆（如图)，让直线y＝x＋b在图形中运动，可知当－1〈b≤1时，与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时eq\f（|b｜，\r(2)）＝1，求得b＝eq\r（2）(舍去）或b＝－eq\r(2）。【答案】(1)A(2)D【总结反思】通常利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系。（2017·重庆沙区模拟)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0〈m〈1 B．－4<m<2C．m<1 D．－3<m<1解析：由直线与圆相交的充要条件，得eq\f(|1＋m｜，\r（2））<eq\r(2）⇔－3<m<1，所以直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0〈m<1，故选A.答案:A热点二圆的切线、弦长问题考向1有关切线问题【例2】过点P(1，－3)作圆C：（x－4）2＋(y－2）2＝9的两条切线，切点分别为A，B,求：(1)切线方程；（2）直线AB的方程；(3)线段AB的长度．【解】（1)当切线的斜率存在时，设直线方程为y＋3＝k(x－1），即kx－y－k－3＝0，由eq\f(|4k－2－k－3｜，\r（k2＋1)）＝3，解得k＝eq\f(8,15).∴切线方程为8x－15y－53＝0.当切线斜率不存在时，易知直线x＝1也是圆的切线，∴所求切线方程为8x－15y－53＝0或x＝1。(2)以PC为直径的圆D的方程为(x－eq\f（5，2))2＋(y＋eq\f（1,2))2＝eq\f(17,2)。∵圆C与圆D显然相交,∴直线AB就是圆D与圆C公共弦所在直线．∴直线AB方程为3x＋5y－13＝0。(3）由S△PAC＝eq\f(1,2）·3·5＝eq\f(1，2)·eq\r(34）·eq\f（1,2）|AB｜，得|AB|＝eq\f(15\r（34)，17）.考向2有关弦长问题【例3】(2017·承德模拟）若a2＋b2＝2c2(c≠0）,则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2A.eq\f（1,2） B．1C.eq\f(\r（2），2) D。eq\r(2)【解析】因为圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f（｜c|，\r（a2＋b2））＝eq\f（|c|，\r(2)｜c｜）＝eq\f（\r（2），2)，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于eq\r（1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2)，2）))2)＝eq\f（\r（2),2)，所以弦长为eq\r(2）.【答案】D【总结反思】1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上（即为切点),则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．2．求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题.(1)（2017·陕西宝鸡模拟）已知条件p:k＝eq\r（3）,条件q：直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切，则綈p是綈q的（)A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)（2017·阜新模拟)过点（1,eq\r（2)）的直线l将圆（x－2)2＋y2＝4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________。解析：（1）若直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切，则有eq\f（2,\r(k2＋1）)＝1,解得k＝±eq\r（3），所以綈p是綈q的必要不充分条件,故选B。(2)因为(1－2）2＋(eq\r(2))2＝3<4，所以点(1，eq\r(2))在圆(x－2）2＋y2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时,即直线l交圆的弦长最短，此时圆心(2，0）与点(1，eq\r(2））的连线垂直于直线l.因为eq\f（\r(2）－0，1－2)＝－eq\r(2)，所以所求直线l的斜率k＝eq\f(\r（2)，2)。答案：（1)B（2）eq\f(\r(2),2）热点三圆与圆的位置关系【例4】已知圆C1：(x－a）2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋（y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(）A.eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2）C。eq\f（9,4） D．2eq\r（3)【解析】由圆C1与圆C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本（均值)不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)）)2＝eq\f（9，4），当且仅当a＝b时等号成立．故选C.【答案】C1．把例4条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．解:由题意得,把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0,①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②－①得（2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即（2a＋2b）x＋3＋b2－a2．将例4条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆（x－a）2＋(y－b)2＝1的位置关系．解:由两圆存在四条切线,故两圆外离，故eq\r（a＋b2＋－2＋22)>3。∴(a＋b）2>9,即a＋b>3或a＋b<－3.又圆心（a，b）到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f（｜a＋b－1|，\r（2）)>1，∴直线x＋y－1＝0与圆（x－a)2＋(y－b)2＝1相离。【总结反思】（1）处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到。若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a〉0)的公共弦长为2eq\r（3）,则a＝________。解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4。两式相减得:2ay＝2，则y＝eq\f(1,a）。由已知条件eq\r(22－\r（3)2）＝eq\f(1，a)，即a＝1。答案:11．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法"与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．3．圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l,则eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（l,2））)2＝r2－d2;(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式：｜AB｜＝eq\r（1＋k2）｜x1－x2|＝eq\r(1＋k2［x1＋x22－4x1x2]）.直线与圆的最值与范围问题【例】(1)设点P是函数y＝－eq\r(4－x－12)图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R），则｜PQ｜的最小值为________．（2)已知m>0,n>0，若直线（m＋1）x＋(n＋1）y－2＝0与圆(x－1）2＋（y－1)2＝1相切,则m＋n的取值范围是______________．【解析】（1)函数y＝－eq\r(4－x－12）的图象表示圆（x－1）2＋y2＝4的下半圆．令点Q的坐标为（x，y),则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2a，,y＝a－3，）)得y＝eq\f（x，2）－3，即x－2y－6＝0，如图所示．由于圆心（1，0）到直线x－2y－6＝0的距离d＝eq\f(｜1－2×0－6|，\r(12＋－22)）＝eq\r(5）>2,所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1）2＋y2＝4相离，因此｜PQ|的最小值是eq\r(5）－2.(2)因为m〉0，n>0，直线（m＋1）x＋(n＋1)y－2＝0与圆（x－1）2＋(y－1)2＝1相切,所以圆心C(1，1)到直线的距离为半径1.所以eq\f（|m＋1＋n＋1－2|,\r(m＋12＋n＋12))＝1，即｜m＋n｜＝eq\r(m＋12＋n＋12）.两边平方并整理得mn＝m＋n＋1.由基本不等式mn≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1