福建省福州市台江区2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1+，x2＝1﹣ D．x1＝1+，x2＝1﹣2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定3．如图是一个正方体纸盒，在下面四个平面图形中，是这个正方体纸盒展开图的是（）A． B． C． D．4．如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为（）A． B． C． D．5．已知点A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，分别以A、D为圆心，AE和DF长为半径画圆弧交于点P．以下说法正确的是()①∠PAD=∠PDA=60º；②△PAO≌△ADE；③PO=r；④AO∶OP∶PA=1∶∶.A．①④ B．②③ C．③④ D．①③④6．已知三点、、均在双曲线上，且，则下列各式正确的是（

）A． B． C． D．7．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝2，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（1，0） B．（1，8） C．（1，﹣1） D．（1，﹣6）8．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．圆 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形9．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．没有实数根10．下列图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为_____．13．如图，已知等边的边长为，，分别为，上的两个动点，且，连接，交于点，则的最小值_______．14．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．15．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=．以A为圆心，AD的长为半径做弧交BC边于点E，则图中的弧长是_______.16．建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有____________排，每排有__________人．17．若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．18．若，且，则的值是______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，求∠OFA的度数20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点且与反比例函数在第一象限的图象交于点轴于点.根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围；动点在轴上，轴交反比例函数的图象于点.若.求点的坐标.21．（6分）已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线1：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t的取值范围．（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．22．（8分）（1）计算：；（2）解方程：．23．（8分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：（1）填空：线段AB的长度d＝；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”）；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是；（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝，该函数图象与⊙O的位置关系是．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E.(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．25．（10分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？26．（10分）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润（元）最大，最大是多少元？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得．【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，则x＝＝1±，即x1＝1+，x2＝1﹣，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特征，灵活选择解法是解题的关键．2、A【解析】试题分析：设ax2+bx+c=1（a≠1）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a＞1，设方程ax2+（b﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．设ax2+bx+c=1（a≠1）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a＞1，∴﹣＞1．设方程ax2+（b﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，∵a＞1，∴＞1，∴a+b＞1．考点：抛物线与x轴的交点3、C【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．【详解】解：从立体图形可以看出这X，菱形和圆都是相邻的关系，故B,D错误，当x在上面，菱形在前面时，圆在右边，故A错误，C正确.故选C.【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．4、D【分析】过B点作BD⊥AC于D，求得AB、AC的长，利用面积法求得BD的长，利用勾股定理求得AD的长，利用锐角三角函数即可求得结果．【详解】过B点作BD⊥AC于D，如图，

由勾股定理得，，，∵，即，在中，，，，，∴．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用，面积法求高的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．5、C【解析】解：∵A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，∴，∴AE=DF＜AD，根据题意得：AP=AE，DP=DF，∴AP=DP＜AD，∴△PAD是等腰三角形，∠PAD=∠PDA≠60°，①错误；连接OP、AE、DE，如图所示，∵AD是⊙O的直径，∴AD＞AE=AP，②△PAO≌△ADE错误，∠AED=90°，∠DAE=30°，∴DE=r，AE=DE=r，∴AP=AE=r，∵OA=OD，AP=DP，∴PO⊥AD，∴PO=r，③正确；∵AO：OP：PA=r：r：r=1：：．∴④正确；说法正确的是③④，故选C．6、B【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵k=4>0，∴函数图象在一、三象限，∵∴横坐标为x1，x2的在第三象限，横坐标为x3的在第一象限；∵第三象限内点的纵坐标小于0，第一象限内点的纵坐标大于0，∴y3最大，∵在第三象限内，y随x的增大而减小，∴故答案为B．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，对点所在不同象限分类讨论是解答本题的关键．7、A【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=2，∴该定弦抛物线过点(0，0)、(2，0)，∴该抛物线解析式为y=x(x﹣2)=x2﹣2x=(x﹣2)2﹣2．将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=(x﹣2+2)2﹣2+3=x2﹣2．当x=2时，y=x2﹣2=0，∴得到的新抛物线过点(2，0)．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．8、D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A．圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选D．【点睛】此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解决此题的关键．9、D【详解】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．10、C【解析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.【详解】A选项中，不是中心对称图形，故该选项错误；B选项中，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C选项中，是中心对称图形，故该选项正确；D选项中，不是中心对称图形，故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1．【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=BD=12cm，在Rt△ACB中，AB===13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），故答案为1．考点：旋转的性质．12、（﹣8，4），（8，﹣4）【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可．【详解】解：以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（﹣4，2），∴点E的对应点E'的坐标为（﹣4×2，2×2）或（4×2，﹣2×2），即（﹣8，4），（8，﹣4），故答案为：（﹣8，4），（8，﹣4）．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．13、【分析】根据题意利用相似三角形判定≌，并求出OC的值即有的最小值从而求解.【详解】解：如图∵∴≌∴∴点的路径是一段弧(以点为圆心的圆上)∴∴,∵∴∴所以的最小值【点睛】本题结合相似三角形相关性质考查最值问题，利用等边三角形以及勾股定理相关等进行分析求解.14、k≥-1【解析】首先讨论当时，方程是一元一次方程，有实数根，当时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．【详解】当时，方程是一元一次方程：，方程有实数根；当时，方程是一元二次方程，解得：且.综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是.故答案为【点睛】考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略这种情况.15、π【分析】根据题意可得AD=AE=，则可以求出sin∠AEB，可以判断出可判断出∠AEB=45°，进一步求解∠DAE=∠AEB=45°，代入弧长得到计算公式可得出弧DE的长度．【详解】解：∵AD半径画弧交BC边于点E，AD=

∴AD=AE=，

又∵AB=1，

∴∴∠AEB=45°，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DAE=∠AEB=45°，

故可得弧DC的长度为==π，

故答案为：π．【点睛】此题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是求出∠DAE的度数，要求我们熟练掌握弧长的计算公式及解直角三角形的知识．16、14；1【分析】先设三军女兵方队共有排，则每排有()人，根据三军女兵方队共352人可列方程求解即可．【详解】设三军女兵方队共有排，则每排有()人，根据题意得：

，

整理，得．

解得：(不合题意，舍去)，

则（人）．

故答案为：14，1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．17、22【分析】

【详解】∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，∴m+n=-2,mn=-11,∴mn(m＋n)＝（-11）×(-2)=22.故答案是：2218、-20；【分析】由比例的性质得到，从而求出a和b+c的值，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∴，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，正确得到，．三、解答题(共66分)19、25°【分析】先利用正方形的性质得OA=OC，∠AOC=90°，再根据旋转的性质得OC=OF，∠COF=40°，则OA=OF，根据等腰三角形的性质得∠OAF=∠OFA，然后根据三角形的内角和定理计算∠OFA的度数．【详解】解：∵四边形OABC为正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，∴OC=OF，∠COF=40°，∴OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∵∠AOF=∠AOC+∠COF=90°+40°=130°，∴∠OFA=（180°-130°）=25°．故答案为25°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．20、或.或.【分析】(1)根据函数图象即可得出答案(2)由已知条件得出点C的坐标为（2，5），再利用B,C的坐标求出直线AC的解析式，可求出A的坐标为（-2，0），由已知条件得出三角形POQ的面积为5，则三角形PAC的面积为10，再利用三角形面积公式可求出PA的值，进而确定P点的坐标.【详解】解：由已知图象得出，当时，y<0,当x=2时，y=5,∴时，所以，x的取值范围为：或.轴于点.点的横坐标为.把代入反比例函数，得.设直线的解析式为，把代入，得直线的解析式为令，解得.轴，点在反比例函数的图象上则，或.【点睛】本题是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，用到的知识点有一次函数的图象与二次函数的图象与性质，此类题目往往需要利用数形结合的方法来求解.21、（1）证明见解析；（2）﹣2≤t≤1；（3）﹣1＜a＜0或0＜a＜1．【解析】(1)利用二次函数的性质找出抛物线的顶点坐标，将x＝h代入一次函数解析式中可得出点(h，2)在直线1上，进而可证出直线l恒过抛物线C1的顶点；(2)由a＞0可得出当x＝h＝1时y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，结合当t≤x≤t+3时二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出结论；(3)令y1＝y2可得出关于x的一元二次方程，解之可求出点P，Q的横坐标，由线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，可得出＞1或＜﹣1，再结合1≤k≤3，即可求出a的取值范围．【详解】(1)∵抛物线C1的解析式为y1＝a(x﹣h)2+2，∴抛物线的顶点为(h，2)，当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，∴直线l恒过抛物线C1的顶点；(2)∵a＞0，h＝1，∴当x＝1时，y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，∴，∴﹣2≤t≤1；(3)令y1＝y2，则a(x﹣h)2+2＝k(x﹣h)+2，解得：x1＝h，x2＝h+，∵线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，∴＞1或＜﹣1，∵k＞0，∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0，又∵1≤k≤3，∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、解一元二次方程以及解不等式，解题的关键是：(1)利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，证出直线l恒过抛物线C的顶点；(2)利用二次函数的性质结合二次函数的最值，找出关于t的一元一次不等式组；(3)令y1＝y2，求出点P，Q的横坐标．22、（1）；（2），【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原式=（2）原方程可变形为或【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值及因式分解法是解题的关键．23、抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5；（2）20＜x＜2，不能，+和﹣；（2），相离或相切或相交；（3）相应S的取值范围为S＞c2．【分析】将顶点（0，5）及点（﹣3，）代入抛物线的顶点式即可求出其解析式；（2）由抛物线的解析式先求出点M的坐标，由二次函数的图象及性质即可判断d的值，可由d的值判断出x的取值范围，分别将S＝3和2．5代入抛物线解析式，即可求出点C将线段AB分成两段的长；（2）设AC＝y，CB＝x，可直接写出点C分AB所得两段AC与CB的函数解析式，并画出图象，证△OPM为等腰直角三角形，过点O作OH⊥PM于点H，则OH＝PM＝，分情况可讨论出AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O的位置关系；（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，由勾股定理及完全平公式可以证明S是x的二次函数，并可写出x的取值范围及相应S的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），∴y＝ax2+5，将点（﹣3，）代入，得＝a×（﹣3）2+5，∴a＝，∴抛物线的解析式为：y＝；（2）∵S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上），在y＝，当y＝0时，x2＝2，x2＝﹣2，∴M（2，0），即当x＝2时，S＝0，∴d的值为2；∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0＜x＜2；当S＝3时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，∴a（2﹣a）＝3，整理，得a2﹣2a+6＝0，∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程无实数根；当S＝2.5时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，∴a（2﹣a）＝2.5，整理，得a2﹣2a+3＝0，解得，∴当a＝时，2﹣a＝，当a＝时，2﹣a＝，∴若面积S＝2.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是和；故答案为：2，0＜x＜2，不能，和；（2）设AC＝y，CB＝x，则y＝﹣x+2，如图2所示的线段PM，则P（0，2），M（2，0），∴△OPM为等腰直角三角形，∴PM＝OP＝2，过点O作OH⊥PM于点H，则OH＝PM＝，∴当0＜x＜时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相离；当x＝时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相切；当＜x＜2时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相交；故答案为：，相离或相切或相交；（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，则，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴（x﹣c）2＝c2+2ab，∴，即S＝，∴x的取值范围为：x＞c，则相应S的取值范围为S＞．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，直线与圆的位置关系