初中数学浙教版九年级上册第4章　相似三角形4．6　相似多边形

相似多边形1．下列说法中，正确的是(C)A.所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的正六边形一定相似D.所有的等腰梯形都相似2．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是(B)(第2题)A.∠E＝2∠KB.BC＝2HIC.六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D.S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL3．如果两个相似五边形的面积之比为16∶9，那么这两个相似五边形的周长之比为(B)A.16∶9B.4∶3C.2∶3D.256∶814．有一个多边形的各边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形的最长边长为8cm，5．如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则CD＝__10__，∠D＝__105°__．(第5题)6．两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，那么较大的多边形的面积是__7．已知矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图①，若矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由．(2)如图②，当x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？(第7题)【解】(1)不相似．理由如下：∵AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，∴eq\f(28,30)≠eq\f(18,20).∴两矩形不相似．(2)若矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(B′C′,BC)或eq\f(A′B′,BC)＝eq\f(B′C′,AB).∴eq\f(30－2x,30)＝eq\f(20－2,20)或eq\f(30－2x,20)＝eq\f(20－2,30)，解得x＝或x＝9.∴当x＝或9时，两矩形相似．8．如图，等腰梯形ABCD是某儿童公园中游乐场的示意图．为满足市民的需求，计划建一个与原游乐场相似的新游乐场，要求新游乐场以MN为对称轴，且与原游乐场的相似比为2∶1.请你画出新游乐场的示意图．(第8题)【解】如图，梯形A′B′C′D′就是所求的新游乐场(梯形沿网格上下平移都可以)．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB在第二象限，OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB的边长扩大为原来的eq\f(3,2)倍，得到矩形A1OC1B1,再将矩形A1OC1B1的边长扩大为原来的eq\f(3,2)倍，得到矩形A2OC2B2……以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3n,2n)，\f(3n,2n＋1)))．(第9题)【解】∵在第二象限内，将矩形AOCB的边长扩大为原来的eq\f(3,2)倍，得到矩形A1OC1B1，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB相似，点B与点B1是对应点．∵OA＝2，OC＝1，∴OA1＝2×eq\f(3,2)，OC1＝1×eq\f(3,2)，∴点B1的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2×\f(3,2)，1×\f(3,2))).∵将矩形A1OC1B1的边长扩大为原来的eq\f(3,2)倍，得到矩形A2OC2B2，∴OA2＝2×eq\f(3,2)×eq\f(3,2)，OC2＝1×eq\f(3,2)×eq\f(3,2)，∴点B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2×\f(3,2)×\f(3,2)，1×\f(3,2)×\f(3,2)))，……∴点Bneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2×\f(3n,2n)，1×\f(3n,2n)))，∴矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2×\f(3n,2n)×\f(1,2)，1×\f(3n,2n)×\f(1,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3n,2n)，\f(3n,2n＋1))).10．如图，已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A(第10题)【解】∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60∴∠A1B1O＝30°，∴OA1＝eq\f(1,2)A1B1＝2×eq\f(1,2)＝1，∴OB1＝eq\r(3)，∴点A1(1，0)．∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D∴∠B1C2D1＝∠A1B1C1∴∠B1A2O＝30°∴OA2＝eq\r(3)OB1＝3，∴点A2(3，0)．同理可得点A3(9，0)，A4(27，0)……∴点An(3n－1，0)．11．如图，在矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．(第11题)(1)求证：四边形ABEF是正方形．(2)求证：点F是AD的黄金分割点．【解】(1)∵∠B＝∠BAF＝∠AFE＝90°，∴四边形ABEF是矩形．由折叠的性质可知AB＝AF，∴四边形ABEF是正方形．(2)∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴矩形EFDC∽矩形DABC，∴eq\f(FD,AB)＝eq\f(CD,CB).∵CD＝AB＝AF，CB＝AD，∴eq\f(FD,AF)＝eq\f(AF,AD)，∴点F是AD的黄金分割点．12．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸……An纸对裁后可以得到An＋1纸．(第12题)(1)填空：A1纸的面积是A2纸面积的__2__倍，A2纸的周长是A4纸周长的__2__倍．(2)根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比．(3)设A1纸的质量为a(g)，试求出A8纸的质量(用含a的代数式表示)．【解】(1)∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，∴A1纸的面积是A2纸面积的2倍．设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸的周长＝2(a＋b)．易知A3纸的长为b，宽为eq\f(a,2)，A4纸的长为eq\f(a,2)，宽为eq\f(b,2)，故A4纸的周长＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b,2)))＝a＋b，∴A2纸的周长是A4纸周长的2倍．(2)设A1纸的长与宽分别是m，n，则A2纸的长与宽分别为n，eq\f(1,2)m，∴eq\f(m,n)＝eq\f(n,\f(1,2)m)，∴eq\f(m,n)＝eq\r(2)，即该系列纸张的长