初中数学北师大版九年级上册第四章　图形的相似5　相似三角形判定定理的证明(g)

北师大版数学九年级上册第3章第5节相似三角形判定定理的证明同步检测一、选择题1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、，只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．分析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得选项A，B，C，D各三角形的三边的长，最后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．熟悉三组对应边的比相等的两个三角形相似定理是解答此题的关键．2．如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对答案：D解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．熟练掌握相似三角形的判定方法是解答此题的关键．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACBB．∠ADB=∠ABCC．D．答案：D解析：解答：A．∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；B．∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；C．∵，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；D．不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．分析：根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出正确答案．此题考查了相似三角形的判定．4．下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个的内角B．都含有一个的内角C．都含有一个的内角D．都含有一个的内角答案：C解析：解答：因为选项A、B、D给出的角，，可能是顶角也可能是底角，不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；所以选项A，B，D错误；因为有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，所以选项C正确．故选：C．分析：若要判定两三角形相似，最常用的方法是找两对对应相等的角，而选项A、选项B、选项D都只能找到一对相等的角，只有选项C可以找出两对对应相等的角．5．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组答案：A解析：解答：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选：A．分析：根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，确定最后答案．边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．6．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G，AF⊥BE于F，图中相似三角形的对数是（）A．5B．7C．8D．10答案：D解析：解答：∵矩形ABCD∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=∴△EDG∽△ECB∽△BAG∵AF⊥BE∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA∴△GAF∽△GBA∽△ABF∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA∴共有10对故选：D．分析：根据已知及相似三角形的判定方法找出存在的相似三角形即可得到答案．此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．7．如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中，（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB（3）（4）AB•CP=AP•CB，其中能满足△APC和△ACB相似的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：（1）中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，（1）正确；（2）∠APC=∠ACB，且有一公共角∠A，（2）正确；（3）中AC2=AP•AB，∠A为其夹角，（3）正确；（4）中不是两组对应边成比例，夹角相等，所以（4）错误．故选：C．分析：两组对应角相等的三角形是相似三角形；两组对应边成比例且夹角相等两个三角形是相似三角形．由此可求出答案．8．如图，已知点P是不等边△ABC的边BC上的一点，点D在边AB或AC上，若由点P、D截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（）A．2处B．3处C．4处D．5处答案：C解析：解答：①△CPD与△CBA相似；此时△CPD与△CBA共用∠C，P点的位置有两个：∠CPD=∠B或∠CPD=∠A；②△BPD与△BCA相似；此时△CPD与△CBA共用∠B，P点的位置同样有两个：∠BPD=∠C或∠BPD=∠A；所以符合条件的D点位置最多有4处．故选：C．分析：先判断由点P、D截得的小三角形与△ABC有哪些相等的条件，再根据相似三角形的判定方法来判断符合条件的D点有几个．注意不要漏解．9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：∵AB⊥BC，∴∠B=．∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠B=，∴∠PAD=∠PBC=．AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8-x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．∴满足条件的点P的个数是3个，故选：C．分析：因为∠PAD=∠PBC=，所以要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，从而得到P点的个数．进行分类讨论是解答此题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：D解析：解答：如图①，∠OAB=∠，∠AOB=∠时，△AOB∽△．如图②，AO∥BC，BA⊥，则∠=∠OAB，故△AOB∽△；如图③，∥OB，∠ABC3=，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；如图④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，则△AOB∽△．故选：D．分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理可得出结论．此题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：∵∠BDO=∠BEA=，∠DBO=∠EBA，∴△BDO∽△BEA，∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=，∴△BDO∽△CEO，∵∠CEO=∠CDA=，∠ECO=∠DCA，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．故选：C．分析：根据∠BDO=∠BEA=，∠DBO=∠EBA，证得△BDO∽△BEA，同理可证△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，从而可知．此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等．12．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A．∠C=∠F=，∠A=，∠D=B．∠C=∠F=，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C．∠C=∠F=，D．∠B=∠E=，答案：D解析：解答：A．相似：∵∠A=∴∠B=-=∵∠D=∴∠B=∠D∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；B．相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，则，，∴，又∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；C．相似：∵∠C=∠F=，∴△ABC∽△DEF；D．不相似：∵∠B=∠E=，，有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似．故选：D．分析：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析作出正确判断．此题考查了相似三角形判定的理解及运用．13．下面两个三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两个钝角三角形D．两个等边三角形答案：D解析：解答：A．等腰三角形的角不一定相等，各边也不一定对应成比例，所以A不正确；B．两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，所以B不正确；C．两个钝角三角形的对应角不一定相等，各边也不一定对应成比例，所以C不正确；D．两个等边三角形的各角度都为，各边对应相等，所以D正确．故选：D．分析：按照三角形相似的判定定理逐个分析，确定正确答案．三角形相似的判定定理有：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．14．已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是图中的（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：∵AB=AC=6，∴∠C=∠B=，∴∠A=，∵，∴与△ABC相似的是选项C．故选：C．分析：由已知图形，根据等边对等角及三角形内角和定理，可得∠A=，△ABC是等腰三角形；根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可求得答案．解题的关键是仔细识图和熟悉相似三角形的判定方法．15．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：A解析：解答：甲：根据题意得：AB∥，AC∥，BC∥，∴∠A=∠，∠B=∠，∴△ABC∽△，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则==3+2=5，==5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．分析：甲：根据题意得：AB∥，AC∥，BC∥，可证得∠A=∠，∠B=∠，由两角对应相等两三角形相似得△ABC∽△；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则=C′D′=3+2=5，A′D′==5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．二、填空题16．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于______答案：解析：解答：∵∠ADO=∠ADO，∠DOA=∠DAE=90°，∴△AOD∽△EAD，∴=．故答案为：．分析：利用两角对应相等得△AOD∽△EAD，那么．此题考查了相似三角形的判定；把所求的线段的比进行相应的转移是解决此题的关键．17．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于答案：1：3解析：解答：∵∠ABC=，∠DCB=∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=1：∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．分析：一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=答案：6解析：解答：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即解得：BC=6．故答案为：6．分析：根据DE∥BC，判断△ADE∽△ABC，利用对应边成比例的知识可得，代入数据求出BC．19．如图，DE∥BC，EF∥AB，且S△ADE=4，S△EFC=9，则△ABC的面积为答案：25解析：解答：∵DE∥BC，EF∥AB∴∠C=∠AED，∠FEC=∠A，∴△EFC∽△ADE，而=4，=9，∴，∴EC：AE=3：2，∴EC：AC=3：5，∴=，∴=9×=25．故答案为25．分析：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即对应边之比的平方，所以先利用△EFC∽△ADE，得出对应线段的比，从而得出面积比，再代入求出其面积．此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质．20．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为答案：21解析：解答：∵，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴．∵△AED的面积是，∴，∴=25，∴四边形DEBC的面积为：25-4=21．故答案为：21．分析：根据DE∥BC可得出△ADE∽△ACB，可以得出，由可以得出，代入可以求出△ABC的面积，从而求出四边形DEBC的面积．三、解答题21．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．答案：2解析：解答：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△的两边长分别为1，，可以看出，△的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．故答案为：2．分析：此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．22．如图，ABCD是平行四边形，点E在边BC延长线上，连AE交CD于点F，如果∠EAC=∠D，试问：AC•BE与AE•CD是否相等？答案：相等解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，∵∠EAC=∠D，∴∠EAC=∠B，∵∠E=∠E，∴△ACE∽△BAE，∴AC：AE=AB：BE，即AC•BE=AE•AB，∵AB=CD，∴AC•BE=AE•CD．分析：要证明AC•BE=AE•CD，只要证明这4条线段所在的三角形相似即可，但直接找不到，利用相等的线段代换后，从条件可以得出4条线段所在三角形相似从而得出结论．此题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形求出线段比，从而转化为线段的积．23．如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AD的延长线交EF于H点．若E为CD的中点，正方形ABCD的边长为4，求DH的长．答案：1解析：解答：∵正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH=∠ADC=∠EDH=，∴∠AED+∠DEH=，∠AED+∠DAE=，∴∠DEH=∠DAE．∵△AED∽△EHD，．∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=CD=4．∵E为CD的中点，∴DE=2．∴，∴DH=1．分析：根据正方形的性质和等角的余角相等，可得两个三角形中，有两个角对应相等，证得两个三角形相似，在此基础上，根据相似三角形的性质进行求解．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）问：△BDE与△BAC相似吗