立体几何 2023高考数学二轮复习课件

培优提能课(四)立体几何CONTENTS目录02提能2立体几何中的截面、交线问题01提能1立体几何中的创新问题03提能3立体几何中的范围、最值问题04专题检测01提能1立体几何中的创新问题|感悟提升|根据图形知正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，棱长为矩形的短边长，故求出一个等边三角形的面积即可求出正二十面体的表面积；观察并找到外接球球心，可得黄金矩形的对角线长为球的直径，据此求解球的表面积即可．

1520π02提能2立体几何中的截面、交线问题立体几何中截面与交线问题涉及线、面位置关系、点线共面、线共点等问题，综合性强，思维层次高，能够培养学生直观想象和逻辑推理等核心素养．【例2】

(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(

)A．矩形

B．三角形

C．正方形

D．等腰梯形解析如图，取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，∴平面AHGD1∥平面A1EF，故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形．D考法一分组转化法求和(2)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD

-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________．|感悟提升|作截面的两种常用方法(1)平行线法：解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行；(2)延长线交点法：解题关键是利用截面上的点至少有两个点在几何体的同一个面上．

|感悟提升|截面最值问题的解法(1)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值．(2)猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等．

|感悟提升|1．处理两面交线的方法：一要明确两面的类型，是平面还是曲面；二要判断哪些面之间相交，交线是直线还是曲线．2．立体几何中空间动点轨迹的判断或求轨迹的长度．一般是根据线、面平行，线、面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程)．

C

03提能3立体几何中的范围、最值问题立体几何中涉及空间图形有关的线段、角、体积的范围、最值，是高考命题的热点．求解的关键是在平面图形直观认识的基础上，分析动态问题，把握空间位置关系．题目能较好地考查学生的空间想象能力、逻辑推理与数学运算等核心数学素养．角度一范围问题【例5】在如图①所示的长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF，得到如图②所示的四棱锥．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，垂足为K.设AK＝t，则t的取值范围是________．|感悟提升|1．本题是一个动态的翻折问题，需要考生发现其中不变的垂直关系，从而得出相关变量间的关系，最终转化成函数的值域问题．2．求解的关键是根据相关的定理对图形中位置关系进行精准判断，抓住不变量，另外注意变量x∈(0，1)的范围．

角度二最值问题【例6】已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．|感悟提升|本题将“四面体可以在圆锥中任意转动”转化为“四面体在圆锥的内切球内”，又通过“侧面积最小”将圆锥的内切球问题转化为四面体的外接球问题，从而转化为如何确定四面体外接球的球心及半径问题．灵活运用转化思想是求解本题的关键．

B

2．设P，Q，R分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CC1，C1D1的中点，且BC＝CC1＝1，AB＝2，M是底面ABCD上的一个动点，若直线D1M与平面PQR没有公共点，则△BB1M面积的最小值为________．专题检测06C

D

解析：依题意，四边形D1FBE在后面，上面，左面投影后所得的图形面积分别与如图中阴影部分所示图形面积相等，其中各正方形边长为1，B′1F′1＝D′1E′1，B′2E′2＝D′2F′2，DE＝D′1E′1，CE＝B′2E′2.所以在后面的投影的面积为S后＝1×1＝1，在上面的投影面积S上＝D′1E′1×1＝DE×1＝DE，在左面的投影面积S左＝B′2E′2×1＝CE×1＝CE.所以四边形D1FBE在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和为S＝S后＋S上＋S左＝1＋DE＋CE＝1＋CD＝2.故选D.B

D

BD

ACD

7．如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V是水面高度x的函数，记为V＝f(x)，若正数a，b满足a＋b＝1，则f(a)＋f(b)的最小值为________．π9.如图，四棱锥P-ABCD中，AD＝PD＝2，底面ABCD是正方形．且平面PCD⊥平面ABCD，∠PDC＝120°.∴FN∥ME且FN≠ME，∴四边形MENF为梯形．∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝DC，正方形ABCD中，AD⊥DC，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PCD.取PC的中点为M，连接DM，如图②，∵△PCD中，PD＝DC＝2，M为PC的中点，∴DM⊥PC，(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；解：

取MB的中点为P，连接DP，PN，因为MN＝CN，MP＝BP，所以NP∥BC，又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，又EN∥平面BMD，EN⊂平面NEDP，平面NEDP∩平面MBD＝DP，所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，(2)试探究随着λ值的变化，二面角B-MD-E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B-MD-E的正弦值大小．解：取DE的中点O，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如图建立空间直角坐标系，设平面BMD的法向量为m＝(x，y，z)，则又平面EMD的法向量n＝(0，1，0)，即随着λ值的变化，二面角B-MD-E的大小不变．11.苏州博物馆由华人建筑师贝聿铭设计，体现了浓郁的

江南派系和苏州园林的风格．它的现代简约，既不同

于苏州传统园林，又不脱离中国人文气息和神韵，清

晰地营造出了中国水墨山水画的意境．苏州博物馆的

一座屋顶形状独具特色，如图所示，底面ABCD是边长为4的正方形，点A1，B1，C1，D1在底面的垂足分别为DA，AB，BC，CD的中点，且到底面的距离均为2.(1)求直线CC1与平面AB1A1所成角的正弦值；解：以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，过D作底面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，A1(2，0，2)，B1(4，2，2)，C1(2，4，2)，D1(0，2，2)，(1)设平面AB1A1的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，设CC1与平面AB1A1所成角为θ，(2)求直线BC1到平面AB1A1的距离；解：由已知易得AA1∥BC1，又∵AA1⊂平面AB1A1，BC1⊄平面AB1A1，∴BC1∥平面AB1A1，∴直线BC1到平面AB1A1的距离即为点B到平面AB1A1的距离．(3)求平面BC1B1与平面AB1A1夹角的余弦值；解：设平面BC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，设平面BC1B1与平面AB1A1的夹角为φ，12.如图，多面体AFDCBE中，AB⊥平面BCE，AB∥CD∥

EF，BE⊥EC，AB＝4，EF＝2，EC＝2BE＝4.(1)在线段BC上是否存在一点G，使得EG∥平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由；解：存在，点G为BC中点，理由如下：取线段AB的中点H，连接EH，HG，EG.∵AH∥EF，AH＝EF＝2，∴四边形AHEF是平行四边形，∴HE∥AF.又∵AF⊂平面AFC，HE⊄平面AFC，∴HE∥平面AFC.∵H，G分别为AB，BC的中点，∴HG是△ABC的中位线，∴HG∥AC.∵AC⊂平面AFC，HG⊄平面AFC，∴HG∥平面AFC.∵HG∩HE＝H，HG，HE⊂平面EHG，∴平面EHG∥平面AFC.∵EG⊂平面EHG，∴E