第3讲　大题专攻-圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 2023高考数学二轮复习课件

第3讲大题专攻

——圆锥曲线中的最值、

范围、证明问题CONTENTS目录01备考领航·重难排查02考点整合·研透悟通03专题检测01一、考情分析高频考点高考预测最值问题在解答题中会继续以椭圆、抛物线、双曲线为几何载体考查最值、范围及证明问题．主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养范围问题证明问题二、真题感悟1．(2021·全国乙卷)(最值问题)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．解：由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，则Δ＝16k2＋16b＞0

(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，

①(1)求椭圆C的方程；1．圆锥曲线中最值(范围)问题的思维路径(1)几何法：若题目中的待求量有明显的几何意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解．(2)代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值．②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．常从以下四个方面考虑：(ⅰ)利用根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(ⅱ)利用已知参数的范围，求新参数的范围，其核心是在两个参数间建立等量关系；(ⅲ)利用已知的或隐含的不等关系建立关于参数的不等式，从而求出参数的取值范围；(ⅳ)利用基本不等式求出参数的取值范围．2．圆锥曲线中的证明问题常见的两个方面(1)位置关系方面：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等；(2)数量关系方面：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明．02圆锥曲线中的最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，与C的准线交于点M.设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝－2.(1)证明：直线l过定点；解

设直线l与C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)证明：设直线l的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程化简得y2－2my－2n＝0，∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n.∴n＝1，∴直线l的方程为x＝my＋1，令y＝0，则x＝1，∴直线l过定点(1，0)．解

由(1)知，直线l的方程为x＝my＋1.|方法总结|最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．令u＝4t3－t4，则u′＝12t2－4t3＝4t2(3－t)，当t∈(2，3)时，u′＞0，u＝4t3－t4单调递增，当t∈(3，4)时，u′＜0，u＝4t3－t4单调递减，【例2】已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2.(1)求抛物线E的标准方程；圆锥曲线中的范围问题(2)若A，B为抛物线E上的两个动点(异于点P)，且AP⊥AB，求点B的横坐标的取值范围．|方法总结|解决圆锥曲线范围问题应考虑的5大方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

(1)求椭圆E的方程；解：因为△ABP是等腰直角三角形，所以a＝2，B(2，0)．(2)设过点P的动直线l与椭圆E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．解：依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－2.因为直线l与椭圆E有两个交点，所以方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为坐标原点O位于以MN为直径的圆外，圆锥曲线中的证明问题注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．(1)求C的方程；解由题意得c＝2，又c2＝a2＋b2，①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.解由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，设点M的坐标为(xM，yM)，又y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，又y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上．|方法总结|圆锥曲线中的证明问题(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)；(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．

(1)求动点P的轨迹方程；方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.所以A，B，C，D四点共圆．专题检测031．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；解：由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x.解：由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．解：当直线l的斜率为0时，直线l：y＝0，即x轴，λ＝|MA|·|MB|＝12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，(1)求C的离心率；解：设双曲线的离心率为e，焦距为2c，当BF⊥AF时，点B的横坐标为c，因为|AF|＝|BF|，(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.解：证明：由(1)知2a＝c，b2＝3a2，如图，设B(x，y)(x>0，y>0)，又因为0≤2∠BAF<π，0≤∠BFA<π，所以∠BFA＝2∠BAF.(1)求椭圆C的方程；解：由题意可知F(c，0