第五章 数字高程模型内插

第五章数字高程模型内插5.1内插方法的分类5.2整体内插5.3分块内插5.4逐点内插5.5关于内插方法的探讨5.1内插方法的分类5.2整体内插由研究区域内所有采样点的观测值建立的。主要通过多项式函数来实现，又称整体函数法内插。常被用于模拟大范围的宏观变化趋势。取研究范围内不同平面位置的n个参考点三维坐标，带入方程内，使n阶线性方程组有唯一解。将待插点的坐标代入上式，可得到待定点的高程值。整体内插法的优缺点。5.3分块内插分块内插是把参考空间分成若干块，对各分块使用不同的函数。要考虑各相邻分块函数间的连续问题。5.3.1线性内插（重点介绍内容）首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定一个平面，继而求出内插点的高程值的方法。（1）概念根据已知三个参考点A,B,C双线性内插p点高程值：注意：最邻近插值一般不连续．具有连续性的最简单的插值是分片线性插值．最邻近插值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求．（2）Matlab算法实现

要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围．z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值点插值方法用MATLAB作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值‘nearest’

最邻近插值；‘linear’

双线性插值；‘cubic’

双三次插值；缺省时双线性插值.5.3.2双线性多项式内插（重点介绍内容）使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四边形，进而确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。正方形格网分布的双线性内插公式：（2）Matlab算法实现双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成．双线性插值函数的形式如下：其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数．双线性插值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O

要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围．z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值点插值方法用MATLAB作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值‘nearest’

最邻近插值；‘linear’

双线性插值；‘cubic’

双三次插值；缺省时双线性插值.5.3.3反距离权重插值算法一种局部插值方法，假设未知值的点受较近控制点的影像比较远控制点的影响更大。Z0为点0的估计值；zi为控制点i的z值；di为控制点i与点0间的距离；s为在估算中用到的控制点的数目；K为指定的幂。课下练习：编写C语言程序实现该插值算法。5.3.4二元样条函数内插为保证各分块曲面间的光滑性，按照弹性力学条件使所确定的n次多项式曲面与其相邻分块的边界上所有n-1次导数都连续，这n次多项式就称为样条函数。方程的16个待定系数，需要建立16个方程。四角点高程ZA,ZB,ZC,ZD，以及它们的导数值RA,RB,RC,RD,SA,SB,SC,SD和TA,TB,TC,TD。优点：保留了微地物特征；内插速度快；保证了分块间连接处为平滑联系的曲面。缺点：采样了弹性力学条件，而地表分块不是狭义的弹性壳体。5.3.5多面叠加内插法（多面函数法）基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面（或称单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在Z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格的通过各个数据点。Q为简单数学面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张数，其值与分块扩充范围内参考点的个数相等；Ki为待定参数，代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。5.3.6最小二乘配置法（自学）某一个测量值包含三部分：与某些参数有关的值。测量值是这些参数的函数，而这个函数在空间是一个曲面，故称为趋势面。不能简单用某个函数表达的值，称为系统的信号部分。随机噪声。去掉趋势面后，如果观测值包含信号和噪声两部分（且信号和噪声期望均为0，两者的协方差也为零），则可获得信号估值的残差平方和为最小的线性内插方法，包括内插、滤波和推估，统称最小二乘配置。5.3.7有限元法（了解）以离散方式处理连续量的一种数学方法，它的思路是将一定范围的连续整体分割为有限个单元（如三角形、正方形等）的集合。5.4逐点内插法逐点内插法是以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点的范围随待插点位置的变化而移动，又称移动曲面法。5.4.1移动拟合法移动拟合法关键在于解决下面两个问题：（1）如何确定待插点的最小邻域范围以保证有足够的参考点；（2）如何确定各参考点的权重。选择邻近点要考虑的因素：（1）范围；（2）点数。动态圆半径方法：考虑距离和方位向的权重。5.4.2加权平均法加权平均法是移动拟合法的特例，是在解算待定点p的高程时，使用加权平均值代替误差方程：5.4.3Voronoi图法由Voronoi多边形的定义可知，相邻两个多边形的边界是相邻两点连线的垂直平分线，因此借助Voronoi多边形，可以找出与待插点相邻的点集。选点定权之后，进行加权平均的计算。一维线性的Voronoi图内插5.4.4考虑地貌特征的逐点内插5.5关于内插方法的探讨大范围地形比较复杂，因此一般不采样整体内