2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究

2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究例.（2018全国3卷第21题）已知函数fx2xax2lnx12x（1）若a0，证明：当1x0时，fx0；当x0时，fx0；（2）若x0的极大值点，求a是fx【解析】（1）若a0，则fx2xlnx12xx2lnx12xx2令gxlnx12x，则g'x14x20x2x1x22x1x22所以gx在0,单增，又因为g00故当1x0时，gxg00，即fx0；当x0时，gxg00，即fx0；（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数yfx在xx0处各阶导数都存在且连续，xx0是函数的极大值点的一个充要条件为前2n1阶导数等于0，第2n阶导数小于0。）f'x12axlnx12xax20x12，f'0f''x12axlnx12xax22alnx1x3ax4a100x12x12，f''f'''x2ax26axx6a10得a1x13，由f'''x6下证：当a10是fx的极大值点，时，x61xx6f'''x313，所以f''x在1,0单增，在0,单减x进而有f''xf''00，从而f'x在1,单减，当x1,0时，f'xf'00，当x0,时，f'xf'00从而fx在 1,0单增，在 0, 单减，所以 x 0是fx的极大值点。（点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过12xylnx1在1,2阶的帕德逼近可得lnx1126xx2，且两个函数在x0处两个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。由此可以迅速得到1，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相6应的题目。尝试一难点在于 fx的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。引理1：若yfx与gxpx在xx0处函数值和导数值都相同，则qxhxqxfxpx在xx0处导数为0.证明：h'xq'xfxqxf'xp'x，g'xp'xqxpxq'xq2x因为f'x0g'x0，且fx0gx0，代入化简即证：h'x00引理2：已知函数yfx在xx0处各阶导数都存在且连续，xx0是函数的极大值点的一个充要条件为前2n1阶导数等于0，第2n阶导数小于0。f'x12axlnx12xax2x12，令mx12axlnx1，ux2xax22x1则易得m0u0，m'0u'0，m''0u''0，由引理1知，m'''0u'''0等价于f'''x0，从而迅速求得a1。16当a时，f4006尝试二：若x0是fx的极大值点，注意到f'00，则存在充分接近于0的，使得当x,0时，f'x0，当x0,时，f'x0*得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。f'xx2alnx1x2xlnx11x1x对任意的x1,，都有2xlnx10，进而有2xlnx1x2x01xlnx1①当x0,时，ax1x2，2xlnx1x1xlnx1xlnx1'0时，alimx1x1当x2limx2x02xlnx1x0x12xlnx1x'1limxlim114x6x02x12lnx13x2x04x1lnx12x16x4xlnx1②当x,0时，ax1x2，2xlnx1x1xlnx1xlnx1'0时，alimx1x1当x2limx2x02xlnx1x0x1'x