ch2-22函数极限的定义1.自变量趋于有限值时

二、函数极自变量趋于有限值时函数的极x2 f(x)x limlimf(x)=x®问题:问题:yfx)xx0的过程中,对应函数值fx)无限趋近于确定值A.f(x)表示f(x)任意小;0x 表示xx0的过程x0

x0 点x0的去心邻域 体现x接近x0程度（1）定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式0xx0的一切xfx)都fxA,那末常数A就叫函数fx)当xx0时的极限,记作limfx) 或fx)A(当xx0x"""00,使当0x时恒f(x)注意1.函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关与任意给定的正数 yyfyyf(x)AAAoxx0x000域时,函数yf(x)线y为中心线,宽为2的带形区域内显然,找到一个后,越小越好例 证明limCC,(C为常数 任取

x

时f(x)

C

0成立,limC例 证明limx f(x)A

x

取

x

时f(x)A

x

成立

limx例

x2

x证函数在点x=1处没有定义x2f(x)A

x1

x

要使f(x

只要取当0x1时

x2 x

x2 x例 x x0 f(x)A

x

xx

xx0

要使f(x

取 x0只要xx0 x0且不取负值

x

时

x

lim

x x0单侧极限例如1 x

yy1f(x)

x2

x

yx2 limf(x) 分x0和x0x从左侧无限趋近x0 记作xx0x从右侧无限趋近x0 记作xx0注意:{x0

x

}

0xx0}

xx0{x左极0,0,使当x0{x左极f(xA记作 f(x) xx00(xx0

f(x00)右极0,0,使当x0xx0时右极f(xA记作 f(x) 或f(x00)xx00(xx0定理1:limf(x)Af(x0

0)f(x00)y1o 1xxy1o 1xx x证 limx

lim(1)xlimxlim1x x00 左右极限存在但不相等

limf(x不存在2、自变量趋向无穷大时函数的sinxx时的变化趋势x问题:问题:yfx)在x的过程中,对应函数值fx)无限趋近于确定值A.问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近f(xAf(xA任意小xX表示x的过程（1）定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等xX的一切x,所对应的函数fx)都满足不等式fx)A,那末常数A就叫函fx)当x时的极限limfx) 或fxA(当xx"X"limf("X"0,X0,xX时f(xA另两种情形10x情形

limf(x)0X0使当xX时

f(x)

20x情形

limf(x)0,X0,使当xX时

f(x)

定理2:limf(x)A limf(x)A且limf(x)

几何解释AysinxX当xX或xX时,yfysinxXysinx例 证明limsinysinx sinx sinx0sinxx

0,取X1

Xsinx

limsinx 定义:如果limf(x)c,则直线yc是函数y f(x)的图形的水平渐近线三、函数极限如果极限lim定理4(局部有界性定理那定理4(局部有界性定理若limfxA,则fx在x0的某去心邻域内xx0有界,即存在常数M0及0,使当0xx0时有f(x)M在某点的去心邻域内，则在这点的极限定理定理5(局部保序性定理如果limf(x)Alimg(x)B,且A 则0,使当0xx0时,有f(x)g(x).推推论1（局部保号性定理如果limf(x)A,且A0或A0,则xx0使当0xx0时有f(x)0或f(x)f(x)

若limf(xA,且0,当xˆ(x0,)时推论推论0(或f(x