机械振动和电磁振荡

机械振动和电磁振荡第十章模型（弹簧振子）什么是振动？振动:任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化力学量（如位移、速度）电磁量（如I、V、E、B）如何研究振动？推广1．掌握描述谐振动和简谐波动的各物理量（特别是位相和位相差）的物理意义及各量的相互关系。2．掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。3．掌握谐振动的基本特征。能根据给定的初始条件建立一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。理解谐振动的能量及其特点。4．理解两个同方向、同频率谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。§10-0教学基本要求

简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。一、简谐振动的特征及其表达式§10-1谐振动连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。弹簧振子：——理想模型忽略物体运动时的一切阻力；忽略弹簧的质量；忽略物体的弹性.受力情况：mgNF“–”表示力与位移的方向相反.物体在任意位置x

所受的力为——动力学方程由牛顿第二定律知受力分析：解此二阶常系数线性微分方程可得——运动方程——动力学方程振幅角频率初相位为积分常数x可代表任意物理量或用旋转矢量图画简谐运动的

图

此式表示出了作简谐振动物体的位移随时间变化的关系.x-t曲线称之为振动曲线.

简谐振动的运动学方程为0对振动速度求导得振动的加速度为

从以上两式可知，作简谐振动物体的速度和加速度是时间的周期函数，而且加速度和位移成正比但方向相反.对运动学方程求导得振动速度为

简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:初始相位为零时

1.振幅:

物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。

2周期和频率

周期：物体作一次完全振动所经历的时间。频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。二、描述谐振动的特征量(简谐振动的三要素)角频率:

物体在秒内所作的完全振动的次数。利用上述关系式，得谐振动表达式：对于弹簧振子，因有，得3.相位和初相相位：决定简谐运动状态的物理量。初相位：t

=0

时的相位。怎样用初始条件求振幅和初相位？

假设作简谐振动的物体在初始时刻的速度和位移分别为和解之可得存在两个值，可根据在到之间，通常进行取舍。

相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。设有两个同频率的谐振动，表达式分别为相位究竟是什么东西？A/2二者的相位差为b.当时,称两个振动为反相；a.当

时,称两个振动为同相；讨论：d.当

时,称第二个振动落后第一个振动

。c.当

时,称第二个振动超前第一个振动；

相位可以用来比较不同物理量变化的步调。对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。简谐振动的表达式振动三要素：振幅A：给出了简谐振动的振动范围角频率：决定于振动系统的固有属性；初相位：决定于初始时刻的状态。弹簧振子解析法例题分析1.一个质量为m的物体系于一倔强系数为k的轻弹簧下，挂在固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长了l=9.810-2m.如图所示，如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有向下的速度v=1ms-1，它就上下振动起来，试写出振动方程.解:物体处于平衡时的位置为坐标原点o，向下为y

轴的正向，如图所示当物体偏离平衡位置时它所受的合力为-ky，因此动力学方程为平衡时受力分析则上式变为

物体在作简谐振动，只要求出三要素，即可写出振动方程.

以物体处于平衡位置且向下运动时为计时起点，则y0=0，v0=1ms-1，于是有该物体的振动方程为求解振动三要素中的初相位：（一）解析法（二）图像法由振动曲线决定初相(给定振动曲线，写出振动方程)为四象限角

t0xx0t0A28、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示．当振子处在位移为零、速度为-ωA、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于曲线上的________点．当振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为-ω2A和弹性力为-kA的状态时，应对应于曲线上的____________点．a,eb,f30、一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A=________；ω=__________；φ=___________．10cm(p/6)rad/sp/36、已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程为．与之对应的振动曲线是(D)-A-Aoyt

oyt(C)AAAoyt

Aoyt

(A)(B)求解振动三要素中的初相位：（一）解析法（二）图像法（三）旋转矢量法

旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量在纸平面

可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。三、谐振动的旋转矢量图示法内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。在任意刻t，矢量端点在x轴上的投影为沿ox轴作简谐振动的物体在t时刻相对于原点的位移.所以简谐振动可以用旋转矢量表示.旋转矢量的模简谐振动的振幅旋转矢量转动角速度简谐振动角频率旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量便于解题,特别是确定初相位便于振动合成由x、v

的符号确定

所在的象限：24o解：作t=0时刻的旋转矢量求：质点运动到x=-12cm处所需最短时间。已知：

A=24cm,T=3s,t=0时作x=-12cm处的旋转矢量12-12补充知识：利用旋转矢量法作x-t

图:xx(cm)t(s)t=0OOT速度、加速度的旋转矢量表示法：M

点:

沿X轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。两个同频率的简谐运动：相位之差为采用旋转矢量直观表示为例题10-1

一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06

m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解:

(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为初始条件：t=0s,x0=0.06m,可得其中A=0.12m,T=2s,据初始条件

O若用旋转矢量法求解，根据初始条件可画出振幅的初始位置，如下图所示。A得从而可得(2)由(1)求得的简谐振动表达式得在t=T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度(3)当x=-0.06m时，该时刻设为t1,得因该时刻速度为负，应舍去，设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是(3)物体从x=-0.06m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间：另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为例.已知x—t曲线,写出振动方程解1作业：P4610－1，10－2，10－31.单摆一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个四、几种常见的谐振动很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。单摆受力分析如右图所示，根据牛顿第二运动定律可得很小时（小于），可取其中单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作角谐振动，周期的表达式可写为转角由初始条件求得。角振幅和初相

根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。当不是很小，物体不再作谐振动，而单摆周期的关系为与角振幅很小时单摆的周期。为2.复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆(物理摆)。

刚体的质心为C,对过O

点的转轴的转动惯量为J,O、C

两点间距离的距离为h。据转动定律，得角度较小时若令例题10-2

一质量为m的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解：

船静止时浮力与重力平衡，

船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y轴，船的位移用y表示。船的位移为y时船所受合力为船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为因得动能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能：五、简谐振动的能量简谐振动的机械能守恒。能量平均值上述结果对任一谐振系统均成立。考虑到，系统总能量为，表明谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:*六、用能量法解谐振动问题步骤：一阶微分方程，再根据初始条件，即可求出振动从给定系统的能量关系式出发，得到振动的方程。例题10-3

在横截面为S的U形管中有适量液体，液体总长度为，质量为，密度为，求液面上下起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩擦）。解：选如图所示坐标系，两液面相齐时的平衡位置为势能零点。系统的势能为液体的动能为由能量守恒得对时间求导，并整理可得液体作简谐振动，其角频率及周期分别为又因为

解：设棒长为2R,质量为m，在且不计

例题10-4

一匀质细杆AB的两端,用长度都为棒扭动时,其质心沿上下运动。因扭动角度很小，可近似认为细棒在水平面内转动。扭动角度为时,质量的细绳悬挂起来,当棒以微小角度绕中心轴细棒在水平面内转动角度为，则有扭动时，求证其运动周期为：。

hc是棒的质心相对棒平衡时质心位置的高度,有系统机械能守恒将上式两端对时间求导，并利用关系常量例题10-5

劲度系数为k、原长为l