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不等式证明的常用方法

均值不等式的证明方法一.比较法1.作差比较法：原理：常用到的辅助方法：⑴配方法；⑵二次函数法：即时，恒大于0；⑶在直接比差有困难时，可采用取倒数、乘方、取对数后求差来替代；⑷作差后分解因式。2.作商比较法：原理：欲证，需分三种情况由此可见，比较法是把两个数的大小比较问题转化成一个数与零或1作大小比较，是一种简化的思想，常要进行适当的恒等变形。二．综合法利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式。这种证明方法叫综合法。用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。⑴从分析法找思路，⑵从“重要不等式”，特别是平均值不等式找思路。⑴常用定理及推论：①若，则（当且仅当时取“=”）②若，则（当且仅当时取“=”）③若，则（当且仅当时取“=”）④若，则（当且仅当时取“=”）⑤⑵常用重要结论：①若，，则，②若，，则，③若，则④若，则⑤若，则⑥若，则⑶常用重要不等式：①，②③④⑤；三.分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.用分析法证明不等式，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。它是证明包含根式的不等关系成立的有效方法，也是一种普通适用的方法，这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法的书写格式：要证明命题为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题为真而已知为真，故命题必为真。四．放缩法常用的放缩公式：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻五.反证法从否定结论出发，经过正确的推理，推出矛盾。该方法适用于“至少”“至多”“唯一”等字句的命题。七.换元法在代数式的恒等变形和解方程时，我们使用过变量代换。而在不等式的证明中若能引进适当的代换，不仅能使证明简化，而且比较容易找到证题思路。换元法是将一些较为复杂的不等式利用等价转换的思想换成易于证明的不等式的证明方法。1.三角换元有些量采用三角函数代换后，可以充分利用三角函数之间特有的关系（相等的或不等的），把一个较难的问题简单化或者一般化，使不等式得到证明。若，则可令（）或（）若，则可令，（）若，则可令，（）若，则可令（）若，则可令（）2.代数换元“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法.循环对称式可采用整体换元。3.增量代换在不等式中，若知，则令（其中，称为增量），将不等关系转化为相等关系，巧作变

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