概率统计简答题

1、已知一批产品中

96%是合格品

.检查产品时，一合格品被误以为是次品的概率是；

一次品被误以为是合格品的概率是

.求在被检查后以为是合格品的产品确实是合格品的概率

.A是被查后以为是合格品的事件，

B是抽查的产品为合格品的事件

..P(A)P(B)P(AB)P(B)P(AB)0.960.980.040.050.9428，P(BA)P(B)P(AB)/P(A)0.9408/0.94280.998.2、某商店销售某种名贵商品

.依据经验，该商品每周销售量听从参数为

1的泊松散布

.假设各周的销售量是互相独立的

.用中心极限制理计算该商店一年内

(52周)售出该商品件数在

50件到

70件之间的概率

.解：设Xi为第i周的销售量,i1,2,,52Xi~P(1)52则一年的销售量为YXi，E(Y)52,D(Y)52.i1由独立同散布的中心极限制理，所求概率为P(50Y70)P2Y521818252525215252(2.50)(0.28)10.99380.610310.6041.1、某商店拥有某产品共计12件，此中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率.解：设A=“取到正品”B＝售出两件中有i件次品，i0,1,2，2则P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)i0P(A)C826C81C417C4280.67C12210C12210C122102、设某种电子元件的寿命听从正态散布N(40,100)，随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率.（0(1)0.8413，0(2)0.9772）解：令X＝“元件寿命”则P{X50}PX405040(1)0.8413,10令Y“5件中寿命小于50的元件个数”则Y~B(5,0.8413).所以P{Y2}C520.84132(10.8413)30.0283.F(X,Y)A(BxarctanyA,B,C3、已知arctan)(B),1)求常数；2)求23P0X2,0Y3.F(,)A(B)(C)1C222解：F(,y)A(B2)(Carctany)0解得B23F(x,)A(Bx)0A1arctan)(c222F(x,y)1(arctanx)(2arctany)22231P{0X2,0Y3}F(0,0)F(2,3)F(0,3)F(2,0)164、从一正态整体中抽取容量为10的样本，假设有2％的样本均值与整体均值之差的绝对值在4以上，求整体的标准差.（0(2.055)0.98,0(2.325)0.99）2解：X~N(,)，n而P|X|410.020.98，故24445.44.10.98，0.99，2.325，nnn1、10把钥匙中有3把能够把门打开，今随意取两把，求能够开门的概率.解：（1）先求在10把钥匙中随意取两把，不能够够开门的概率，样本点总数是90，因为不能够开门，所以这两把钥匙均取自7把不能够开门的钥匙中间，有益事件数为6742。不能够够开门的概率为21，452180.53.（2）能够开门的概率为115452、设随机变量X的密度函数f(x)Aex(x),求(1)系数A；（2）散布函数F(X).Qf(x)dx1，即（0xx解：（1）edxedx)1，0A1/21xxdt，（2）F(x)e211x当x0，（）xtedte2当x0，F(x)etdt21etdt11ex0x2023、设整体X听从正态散布N(,2)，此中2是已知的，而未知的，(X1,X2,X3)是从整体中抽取的一个简单随机样本。(1)求(X1,X2,X3)的密度函数；(2)指出X1X2X3，X3Xi22，min(X1,X2,X3)，2，i1X3X1之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为何213(xi)2解：（1）(x1,x2,x3))3ei122(2（2）X1X2X3，，min(X1,X2,X3)，X3X12都是统计量，因为它们均不包括任何未知参数；而32X2不是一个统计量Xi2,因为它是整体的函数，而不是样本的函数，2中包括未知参数，所以它不是一个统计量.i11、某工厂有三条流水线生产同一种晶体管，每条流水线的产品分别占总产量的15%、80%、5%,又这三条流水线的次品率分别为、、，现在从这批晶体管中随机取一只，求它是次品的概率.解：由全概率公式P(A)0.020.150.010.800.030.050.01252、设连续型随机变量X的散布函数F(x)ABarctanx,(x),(1)确立常数A与B；（2）求X的概率密度函数f(x).解：F()AB1,F()AB0A1/2,B1/2211F(x)arctanx2f(x)F'(x)1(1x2)3、掷一枚平均硬币，正面为1点、反面为0点，随机变量为连掷二次点数之和，试（1）求的散布律；（2）并求E和D.解：(1)散布律以下表012p1/41/21/4(2)E011122141，4E201112414342DE2(E)2124、设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为听从正态散布N(1000,1002)的随机变量，求这100件产品的总成交价不低于万元的概率.解：设第i件产品的成交价为Xi，则Xi~N(1000,1002)，i1,2,L,n又因为X1,X2,L,Xn互相独立,100听从N(10,0.12)万元的散布.所以总成交价XiXi故有P(X9.9)1(9.910)0.84130.1故总成交价不低于万元的概率为%10xU[0,]，它的密度函数为f(x;,5、设母体X听从平均散布)，（1）求未知参数的矩法预计0,otherwise量；（2）当子样察看值为，，，，，时，求的矩法预计值.解：(1)因为E(X)xf(x;)dx1xdx21nX，所以2X令E(X)Xi=X，即ni12(2)由所给子样察看值算得2x0.96331、设随机变量X的散布列为PXkak(k1,2,L),求：(1)参数a，(2)PX4，(3)Y2X12的散布列.解：（1）由a1a1k12k111（2）P{X4}l02k516k52k（3）P{Y2k1}P{Xk}1（k1,2,L）2k2、将一枚硬币连抛三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(X,Y)的联合散布律、关于X和Y的边沿散布律.解：设Ai“第i次出现正面”(i1,2,3)，则此随机试验包含8个基本事件：A1A2A3(3,0)；A1A2A3(0,3)；A1A2A3,A1A2A3,A1A2A3(2,1)；A1A2A3,A1A2A3,A1A2A3(1,1)，它们相应的(X，Y)取值为P(X3,Y0)12,Y1)3,P(X；3818P(X1,Y1)0,Y3),P(X.88进而，(X，Y)的联合散布律为和边沿散布律：YOX0123pgj0000118810330688831000188pig133188883、整体X~N(80,202)，从整体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与整体均值之差的绝对值大于3的概率是多少((1.5)=0.9332)解：设容量为100的样本为(X1,X2,,X100)，X是样本的均值，则X80~N(0,1)，2所求概率为P{|X80|3}1P{|X80|3}22221[(1.5)(1.5)]2(10.9332)0.13364、设母体X听从指数散布，它的密度函数为f(x;)exx00，试求未参数0x，的最大似然估0计.解：设x1,x2,L,xn是X的子样察看值，nnexi那么的似然函数为L()i1n就有lnL()nlnxii1dlnL()nn于是，似然方程为xi0di1进而，可得?1X1、袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币两面均印有国徽）.从袋中任取一枚硬币，将它扔掷r次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少解：设事件A“所取硬币为正品”，事件B“所取硬币掷r次均出现国徽”，所求概率为P(A|B).m1rnP(A)，P(B|A)，P(A)，P(B|A)1mn2mn故：P(A|B)P(B|A)P(A)mr.P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)mn22、对目标独立射击4次，设每次命中率为,（1）写出X的散布律；（2）求最少3次命中目标的概率.解：（1）设X为4次射击中的命中次数。则X?B(4,P{Xk}C4k0.1k0.94kk0,1,2,3,4（2）P{X3}P{X3}P{X4}C430.130.90.140.00413、设在某一规定的时间间隔里，某电器设备用于最大负荷的时间X（以分计）为随机变量，其概率密度为1x0x1500150021，求E(X)，D(X).f(x)15002(x3000)1500x30000其余解：E(X)=xf(x)dx=150012x2dx3000(30002x)xdx0150015001500=500+1000=1500E(X2)=150012x3dx3000(30002x)x2dx0150015001500=562500+2062500=2625000D(X)E(X2)E2(X)=3750004、生产灯泡的合格率为，求10000个灯泡中合格灯泡数在5800~6200的概率.1、解：由题意10000个灯泡中合格灯泡数X~B（10000，），再由中心极限制理知X~N（6000，2400），则所求概率为P{5800X6200}62006000(58006000)()24002400(4.082)(4.082)2(4.082)115、设总体X~N(0,1),从此总体中取一个容量为6的样本(X1,,X6),设Y(X1X2X3)2(X4X5X6)22,试决定常数c,使得随机变量cY听从散布.解：X1X2X3~N(0,3)，X1X221X3~2(1)(X1X2X3)2~2(1)则3，即31(X4X5X6)2~2(1)同理有，3且(X1X2X3)2与(X4X5X6)2独立，1Y1X2X3)2(X4X5X6)2~2(2)则有(X133故c131、在射击室里有9支枪，此中经试射的有两支，试射过的枪的命中率是,未试射过的枪的命中率为.今从射击室里任取一枪，发射一次结果命中了.求“所取枪是已经试射过”的概率.解：设A—发射一次命中；H1—所取的枪试射过；H2—所取的枪未试射过由题意，P(A/H1)0.8,P(A/H2)0.1,P(H1)2,P(H2)799由贝叶斯公式：P(H1/A)P(A/H1)P(H1)1623P(A/H1)P(H1)P(A/H2)P(H2)2、随机变量X~U1,1,求YX2的散布函数与概率密度.fXx11x122解：,且yg(x)x,0其余0y<00y<0yFYyfXxdx1y0y1dx0y1,y2x2y1y11y110y1fY(y)FY'(y)2y.0其余3、设某昆虫的产卵数X听从参数为50的泊松散布，又设一个虫卵能孵化为成虫的概率为,且各卵的孵化是互相独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫卵数Y的联合散布律.解：本题已知随机变量X的散布律为PXi50ie50,i0,1,2,i!由题意易见，该昆虫下一代只数Y在Xi的条件下听从参数为i,的二项散布,故有P{Yj|Xi}Cij0.8i0.2ij，j0,1,...,i由PXi,YjPYi|XiPXi,得(X,Y)的联合散布律为：P{Xi,Yj}Cij0.8jij50ie500,1,;j0,1,,i.0.2i!，i4、已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切贝雪夫不等式预计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升含白细胞X个，则E（X）=7300，D（X）=700，由切贝雪夫不等式知，所求概率P(5200X9400)P(-2100X-73002100)P{|XE(X)|2100}1D(X)17002821002210029即所求概率约为8.95、在整体X~N(12,4)，从X中随机抽取容量为6的样本(X1,X6).求样本均值与整体均值之差的绝对值大于2的概率.(0(2.4495)0.995)解：设整体为X，由题意：X~N(12,2/3)，则XEX~N(0,2/3)，所求概率为：P{|XEX|2}1P{|XEX|2}1[(2/2/3)(2/2/3)]＝2[1(2.4495)]＝.6、设整体X的密度函数为f(x)x1,0x10.试求的最大似然预计量.0,其余此中是未知参数，且解：设x1,x2,,xn是X的子样察看值，nn1那么样本的似然函数为L()xi，i1lnL()nln(1)nlnxi，取对数得i1dlnL()nnlnxi0，于是，似然方程为di1进而，可得?nnlnXii11、玻璃杯成箱销售，每箱20只.假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为、和，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，不然退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率.解：设事件A表示“顾客买下该箱”，Bii01,2i表示“箱中恰好有件次品”，，则P(B0)0.8，P(B1)0.1，P(B2)0.1，P(A|B0)1，P(A|B1)C1944C18412C204，P(A|B2)C20419.5(1)由全概率公式得240.112P(A)P(Bi)P(A|Bi)0.810.10.94；i0519(2)由贝叶斯公式(B0|A)P(B0)P(A|B0)0.810.85.P(A)0.94X的概率密度为2Ax,0x13}；（3）2、已知随机变量fx0,其余，求：（1）参数A；（2）P{0.5XP{Xx}.1解：(1)由归一性，得f(x)dx2Axdx1A1031(2)p{0.5x3}f(x)dx2xdx0.750.50.5x(3)p{Xx}f(t)dtx当x<0时，f(t)dt0;xx当0x时，f(t)dt2tdt21x0x1当x时,f(t)dt2tdt1103、已知随机变量X与Y独立，其散布律分别为：X10Y-101pXPY分别求随机变量Z=max(X,Y)，与W=X-Y的散布律.并求Z,W的散布律.解:作