弹性体的形变势能位移变分方程林国昌

弹性体的形变势能位移变分方程林国昌第一页，共四十六页，2022年，8月28日弹性力学的微分提法微分法：从微元入手，建立其基本微分方程。在给定边界条件下，求解偏微分方程问题（偏微分方程的边值问题）。平衡方程几何方程物理方程微元体微分法的解：解为精确解，完全满足微分方程。2第二页，共四十六页，2022年，8月28日弹性力学的变分法(能量法)变分法：考虑整个系统的能量关系(如形变势能，外力势能等)，建立泛函变分方程；在给定约束条件下求解泛函极值的变分问题。最后将问题归结为易于求解的线性方程组，从而获得问题的近似解答。变分法的解：解为近似解，近似满足微分方程。以整个系统为研究对象弹性力学中的变分法又称为能量法。3第三页，共四十六页，2022年，8月28日弹性力学的变分法(能量法)力学概念：形变势能外力势能数学概念：泛函变分4第四页，共四十六页，2022年，8月28日

§11-1弹性体的形变势能林国昌第五页，共四十六页，2022年，8月28日数学基础知识

泛函变分6第六页，共四十六页，2022年，8月28日泛函的提出约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）于1696年提出一个问题：最速降线问题。问题描述：时间集合T函数集合yT1y11T2y22TiyiiTnynn(a,b)设有两点A、B不在同意铅垂线上，在A、B两点间连接一条曲线，有一重物沿曲线从A到B受重力作用自由下滑。若忽略摩擦力，问怎样的曲线使得从A到B的自由下滑时间最短？函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。7第七页，共四十六页，2022年，8月28日函数与泛函函数：f(x)是变量x的实函数，即在其定义域内，任一x值都有一个实数f(x)与之对应。泛函：Π(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应。自变量因变量f(x1)f(x2)f(xi)f(xn)函数f(x)x1x2xixn实数实数y1y2yiyn函数自变量Π(y1)Π(y2)Π(yi)Π(yn)实数因变量泛函：就是以函数为自变量的一类函数。简单的讲，泛函就是函数的函数。对应法则f泛函Π(y)对应法则Π8第八页，共四十六页，2022年，8月28日泛函从点A到点B的总时间是T是y(x)的泛函满足y(0)=

0，y(a)

=b(a,b)最速降线问题：称时间T是函数y的泛函。求泛函的极值问题——变分。9第九页，共四十六页，2022年，8月28日变分变分命题的实质是求泛函的极值问题。给定函数y(x)变量：x函数：y(x)变量的增量：Δx函数的增量：Δy＝y(x+Δx)-y(x)当两点无限接近：Δx→dx，Δy→dy略去高阶微量：dy＝y’(x)dx当在x处取得函数极值dy＝0给定泛函Π(y)变量：y泛函：Π(y)函数的变分：δy泛函的变分：δΠ＝Π(y+δy)-Π(y)在计算δΠ时可以展开Π(y+δy)中的被积函数只保留线性项。当在y处取得泛函极值δΠ＝0泛函Π(y)为极小值；泛函Π(y)为极大值.10第十页，共四十六页，2022年，8月28日变分与微分的比较

微分─是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移u，有

由于微分和变分都是微量，所以它们的运算方式相同，如上面两式变分─是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如势能V

11第十一页，共四十六页，2022年，8月28日泛函变分的基本运算法则(1)、泛函变分运算与微分运算法则基本相同

(2)、和以及积分算子具有交换律：12第十二页，共四十六页，2022年，8月28日应变能密度，形变势能13第十三页，共四十六页，2022年，8月28日1应变能密度假定：弹性体在受力过程中始终保持平衡，

(1)没有动能的改变；

(2)弹性体的非机械能(例如温度)也没有变化。则外力势能的减少(外力所作的功)=形变势能(应变能)的增加。形变势能的计算：形变势能可以用应力在其相应的应变上所做的功来计算。14第十四页，共四十六页，2022年，8月28日1应变能密度设弹性体只在某一方向上，如x方向，受均匀的正应力作用，相应的线应变为，则每单位体积内具有形变势能表示为：(a)应变能密度是应变分量的泛函，因为自变函数为。当弹性体的应力-应变关系为线性时，即(c)应变能密度：每单位体积内具有形变势能。应变能密度为应力-应变曲线右下方分面积。15第十五页，共四十六页，2022年，8月28日2应变余能密度应力-应变曲线左上方的面积，称为应变余能密度。记为：(b)当弹性体的应力-应变关系为线性时，即(d)应变余能密度是应力分量的泛函，自变函数为。表示的就是单位体积内的应变余能。16第十六页，共四十六页，2022年，8月28日说明(c)(d)注意：(1)数值相等；(2)自变量不同。应变能密度：应变余能密度：当应力-应变曲线为线性时：17第十七页，共四十六页，2022年，8月28日3全部的应变能密度同理，弹性体只在某两个相互垂直的方向，如x、y受均匀的切应力作用，其相应的切应变为，则应变能密度为：(应力-应变线性关系)(e)疑问：一个应力分量会引起另一应力分量相应的形变分量(如)，似乎形变势能与弹性体的受力次序不同而不同。同理，如果弹性体同时受到作用，则全部的应变能密度可以写为：18第十八页，共四十六页，2022年，8月28日3全部的应变能密度

形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力与形变的最终值。能量守恒定律：反证：按某一次序对弹性体加载，而按照另一次序卸载，在一个循环中使弹性体增加或减少一定的能量，这是不可能的。叠加原理：复杂应力状态可以分解为各个简单应力状态的组合，各个简单应力在对应的形变下所做的功之和，即为复杂应力状态下的应变能。19第十九页，共四十六页，2022年，8月28日4整个弹性系统的形变势能

一般情况下，弹性体受力不均匀，应力分量和形变分量都是位置坐标的函数；应变能密度也是坐标的函数，整个弹性体的形变势能是把应变能密度在整个弹性体内的积分，即：(f)(g)形变势能是形变分量的泛函。代入(e)式：20第二十页，共四十六页，2022年，8月28日5形变表示的弹性体形变势能利用物理方程(8-19)，形变势能可仅用形变分量表示。其中，(h)将(h)代入(g)式得：弹性体的形变势能表达式：(11-1)其中，21第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日表明：(1)不论形变如何，弹性体的形变势能总不会是负的，在所有的形变分量为0时，形变势能才为0。(2)形变势能是应变(或位移)的二次函数，因此不能用叠加原理，如先发生位移u1，再发生位移u2

，则。5形变表示的弹性体形变势能(11-1)22第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日6格林公式在六个应力分量作用下，应变能密度仅用形变分量表示为：(i)对六个形变分量求导，得：(11-2)表明：(1)弹性体的应变能密度对任一形变分量的改变率，等于相应的应力分量。(2)应变能密度是弹性体材料本构关系的另一种表达形式。(11-2)式称为格林(Green,G.)公式。(11-1)23第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日7位移表示的弹性体形变势能形变势能用位移分量表示，(11-3)由空间问题几何方程代入(11-1)，弹性体的形变势能表达式为：(8-9)(11-1)24第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日8应变余能同理：整个弹性体的应变余能为：（j）应变余能密度在应力-应变关系为线性时，同样可表示为（k）注：应变余能是以应力分量为自变函数的泛函，因此应变余能可仅用应力分量来表示（l）由物理方程：代入(k)式，简化后得应变余能密度表达式：（m）是否可能为负？25第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日9卡斯蒂利亚诺(Castigliano)公式对整个弹性体积分后得，整个弹性体的应变余能：（11-4）(m)式对应力分量求导得：（11-5）表明：弹性体的应变余能密度对任一应力分量的改变率，等于相应的形变分量。称为卡斯蒂利亚诺(Castigliano)公式。（m）26第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日10小结形变势能的性质：形变势能的大小与受力顺序无关。当应变或位移发生时，形变势能总是正的，即形变势能是位移或应变的二次函数，因此不能用叠加原理，如先发生位移

u1，在发生位移u2，则单位体积的形变势能(即应变能密度)对任一应变分量的导数等于相应的应力分量。27第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日

§11.2位移变分方程林国昌哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日0实际平衡状态下的位移(1)、实际平衡状态下的位移设弹性体实际平衡状态下的位移为

u、v、w,必须满足用位移表示的平衡微分方程用位移表示的应力边界条件位移边界条件其中，和属于静力平衡条件，反映了载荷作用下各微元以及整个物体都处于平衡状态的要求；属于约束条件，是求解位移的必要条件，和是充分条件。前面各章在求解位移分量时，都直接致力于寻找同时满足以上三个条件的真实位移；本章则分两步处理：首先寻找满足位移边界条件的位移分量(可能有无数多个)，之后在这些位移分量中寻找满足以上所有条件的真实位移。29第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日1.虚位移F虚位移：在数学上称为位移变分，即表示约束条件允许下平衡状态附近的微小增量。约束条件允许：满足位移边界条件。以一个悬臂梁为例，只考虑位移边界条件的约束（不考虑悬臂梁是否平衡），w和w+δw都是可能出现的位移。w和w+δw是满足位移边界条件的位移自变函数。他们的差δw称为虚位移。虚位移不反应真实性，只反映可能性。30第三十页，共四十六页，2022年，8月28日2.虚功

假定弹性体在虚位移过程中并没有温度的改变，也没有速度的改变，即能量守恒，则形变势能的增加等于外力势能的减少，也就等于外力在虚位移上所作的功，即虚功。虚功：就是载荷在约束条件允许的虚位移上所做的功。31第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日3、位移变分方程依据能量守恒定理，形变势能的增加等于外力在虚位移上所做的虚功为：(11-6)(11-6)式为位移变分方程，也称为拉格朗日变分方程。考察：一个弹性体在一定的外力作用下处于平衡状态，假想发生了位移所允许的微小改变，即虚位移

能量将产生什么变化？32第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日3、位移变分方程(11-6)(11-6)式为位移变分方程，也称为拉格朗日变分方程。它表示：在实际平衡状态发生位移变分时，所引起的形变势能的变分=外力功的变分。位移只满足位移边界条件导出位移变分方程没有考虑以下条件：用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的应力边界条件。33第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日4、虚功方程应用位移变分方程，得到有限单元法中一个重要方程---虚功方程。依据变分原理，变分的运算与定积分运算可以交换次序。把应变能密度看作形变分量的函数(泛函)：(11-2)格林公式34第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日(11-7)这就是虚功方程.表示：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，则在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功=应力在相应虚应变上所做的虚功。4、虚功方程代入位移变分方程(11-6)，得：(11-6)(11-7)35第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日5、最小势能原理由于虚位移是微小的，所以在虚位移过程中，外力的大小和方向可以认为保持不变，只是作用点有了改变，于是位移变分方程(11-6)可改写为：将变分与定积分交换次序，移项后得:（a）(11-6)36第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日5、最小势能原理用V表示外力势能(以u=v=w=0时的自然状态下的势能为0)，它等于外力在实际位移上所做的功，并在前加以负号，即：（b）即得：（a）

是形变势能与外力势能的总和，上式表明：在给定的外力作用下，实际存在的位移使总势能的变分为0。37第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各位移中，实际存在一组位移应使总势能成为极值，即5、最小势能原理也就表示在平衡状态，体系的总势能取极值。极大值？极小值？设总势能为：

表示在实际位移u处，Ep曲线的切线为水平线；表示在实际位移u处，Ep曲线是上凹曲线，因此，Ep=min。最小势能原理：38第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日5、最小势能原理如图中的球，平衡时的总势能可取极大值或极小值，对于稳定的平衡(位移为实际的位移)，从这样的平衡状态产生虚位移时，总势能的增量总是正的，因此在稳定平衡状态，实际的位移使弹性体的总势能取最小值，这就是最小势能原理。39第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日说明导出位移变分方程没有考虑以下条件：用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的应力边界条件。位移只满足位移边界条件最小势能原理求出真实的位移位移变分方程用位移表示的平衡微分方程。用