弹塑性力学厚壁圆筒

弹塑性力学厚壁圆筒第一页，共四十一页，2022年，8月28日9-1厚壁圆筒的弹性分析

厚壁圆筒：外半径b与内半径a之比b/a>1.2

它的几何形状对称于中心轴，且沿筒体轴向无变化， 圆筒的载荷分布亦对称于中心轴，并沿轴向均相同。

——平面轴对称问题 在这类问题中，应力、应变和位移量均与环向坐标θ无关，而仅是径向坐标

r的函数。第二页，共四十一页，2022年，8月28日采用极坐标(r,θ)表示各应力分量。轴对称性（应力轴对称）径向应力与环向应力仅是r的函数，与θ无关，

由于轴对称性，筒体只产生沿半径方向的均匀膨胀和收缩，即只产生径向位移

轴向位移仅与z有关，即第三页，共四十一页，2022年，8月28日

基本方程平衡方程：几何方程：

物理方程：（平面应力）边界条件：（平面应变）第四页，共四十一页，2022年，8月28日

位移解法几何方程物理方程平衡方程第五页，共四十一页，2022年，8月28日当 （平面应力）或 （广义平面应力）时，得 ，即轴向应变为常量。

此时在z方向为均匀变形，垂直于轴线的平面在变形过程中保持为平面。

边界条件：第六页，共四十一页，2022年，8月28日应力分量：位移分量：Lamé

公式它和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题第七页，共四十一页，2022年，8月28日

讨论①厚壁圆筒仅受内压p1，即p2=0②厚壁圆筒仅受外压p2，即p1=0+---第八页，共四十一页，2022年，8月28日9-2厚壁圆筒的弹塑性分析

屈服条件Tresca屈服条件：厚壁圆筒仅受内压

p1=p作用的情况。的大小排序？平面轴对称问题：平面应力平面应变σz

为中间主应力第九页，共四十一页，2022年，8月28日Mises屈服条件：平面应变在轴对称平面应变条件下，并设μ=0.5，按两种屈服条件进入塑性状态时，其应力组合相同，所满足的条件仅相差一个系数。Tresca屈服条件的系数为1；Mises屈服条件的系数为1.155。第十页，共四十一页，2022年，8月28日

弹塑性分析当内压

p较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，在r=a处， 有最大值内壁处最先屈服弹性极限压力当

p<pe时，圆筒处于弹性状态；当

p>pe时，圆筒处于弹塑性状态。第十一页，共四十一页，2022年，8月28日塑性区a①塑性区平衡方程：屈服条件：边界条件：弹塑性交界面当

p=pp>pe时，部分塑性部分弹性。第十二页，共四十一页，2022年，8月28日②弹性区弹性区b弹塑性交界面塑性极限压力

时，整个截面进入塑性状态第十三页，共四十一页，2022年，8月28日

应力分布情况弹性极限状态塑性极限状态+-弹塑性状态-+-+σr绝对值的最大值发生在筒体的内壁处；σθ的

最大值随着内压的增加而由内壁移到外壁，随着塑性区的扩大，应力分布也变得“缓和”些。第十四页，共四十一页，2022年，8月28日

弹塑性状态下的位移①塑性区平面应变体积不可压缩利用几何方程②弹性区塑性区a弹性区b q为弹性极限载荷第十五页，共四十一页，2022年，8月28日弹塑性交界处位移u的连续条件塑性区：o

厚壁圆筒内表面处径向位移与内压的关系第十六页，共四十一页，2022年，8月28日

圆筒端面条件的影响

工程中的圆筒，其端部通常为开口或闭口。 前面讨论中假设的平面应变状态，与实际情况的差别对结果的有多大影响呢？弹性状态下的轴向应力若筒体端部轴向合力为F，则按圣维南条件有第十七页，共四十一页，2022年，8月28日

讨论①端部为闭口时，②端部为开口时，③平面应变条件下，

平面应变介于前两种情况之间，且接近于端部为闭口的情况，μ=0.5时，两种情况重合。第十八页，共四十一页，2022年，8月28日9-3组合厚壁圆筒的分析

当厚壁圆筒的内半径尺寸固定时，为了提高塑性承载力，可以采用增加壁厚的方法。考虑到某些因素（反复加卸载）时，壁厚的增加受到限制；按弹性设计，弹性极限压力的提高随壁厚的增加并不明显。组合厚壁圆筒第十九页，共四十一页，2022年，8月28日

圆筒的套装abcabbc套装处的过盈量：采用加热外筒方式进行套装若温度升高线膨胀系数外筒内半径的膨胀量第二十页，共四十一页，2022年，8月28日套装后在两个筒体的套装面上将产生均匀的压应力abbc内筒外半径处：外筒内半径处：几何条件套装压力第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日

套装应力分布情况弹性极限状态+套装应力分布+-+

套装产生了负的切向应力σθ，从而提高了弹性极限承载力。第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日分层半径b和套装过盈量δ：abc

应力组合 在r=a和r=b处均有可能先达到临界值。何处先达到与b和δ的选择有关设内外筒体同时产生屈服ab内表面处外表面处内筒：第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日abcbc自由边界内表面处外表面处外筒：内外筒体同时产生屈服使 的组合值较小分层半径第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日内筒外半径处：外筒内半径处：过盈量（由计算的b和δ，可获得最大的弹性极限压力）第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日

关于塑性极限承载力的讨论

材料的屈服极限沿厚度变化设厚壁圆筒的内、外半径之比为b/a=2，受内压p1和p2共同作用。

p1>p2材料的屈服极限沿筒体厚度的变化规律：平衡方程：屈服条件：情况(1)第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日边界条件：情况(2)屈服极限为常数从选材来讲，提高内表面处的屈服极限可以提高塑性极限承载能力；使用屈服极限高的材料作为内筒可以获得较高的塑性极限承载能力。第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日

两种不同材料的组合厚壁圆筒abc平衡方程：屈服条件：边界条件：内筒外筒塑性极限状态塑性极限状态第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日9-4厚壁圆筒的残余应力作用于厚壁圆筒内表面上的压力超过弹性极限压力时，筒体内出现塑性变形。若将作用的压力卸至零，在筒体中所卸除的应力服从弹性规律，卸载后在筒体内将出现残余应力。残余应力是结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的一种应力场。第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日弹性区塑性区ab残余的应力分量：卸除的应力分量：①塑性区②弹性区第三十页，共四十一页，2022年，8月28日轴向残余应力分量①端部为开口时，②端部为闭口时，平面应力问题平面应变问题塑性区弹性区第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日

残余应力分布情况由

pl开始卸载由

pp开始卸载-+--+-

残余应力的屈服条件：在r=a处， 产生最大值。

卸载不产生反向屈服的条件：第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日9-5强化材料的厚壁圆筒

幂强化材料的厚壁圆筒ab材料的应力-应变关系：A—材料常数；n—强化指数。0<n<1

该材料的变形无弹性与塑性阶段的区别，从出现变形就是由弹性变形与塑性变形两部分组成。（不出现弹性区和塑性区）

复杂的应力状态下，按照单一曲线假设：第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日几何方程：体积不可压缩条件：应变强度：应力强度：第三十四页，共四十一页，2022年，8月28日平衡方程：边界条件：应力分量：位移分量：不出现塑性极限状态第三十五页，共四十一页，2022年，8月28日9-6厚壁圆球的分析在厚壁圆球中，载荷分布对称于球的中心点。——球对称问题所有分量仅是径向坐标

r

的函数。第三十六页，共四十一页，2022年，8月28日

弹性分析ozyx平衡方程：几何方程：物理方程：ab第三十七页，共四十一页，2022年，8月28日欧拉型二阶线性齐次微分方程变量置换法边界条件：第三十八页，共四十一页，2022年，8月28日应力分量：位移分量：它和弹性常数无关第三十九页，共四十一页，2022年，8月28日

讨论厚壁圆球仅受内压p1=