影响单摆实验误差的几个因素探析

影响单摆实验误差的几个因素探析第一页，共四十九页，2022年，8月28日“基础知识部分”一、误差概念一、测量误差的基本概念基础知识基础知识第二页，共四十九页，2022年，8月28日真值1.真值在一定条件下，任何一个物理量的大小都是客观存在的，都有一个移的客观量值，称为真值。以表示。不依人的意志为转a严格的完善测量难以做到，故真值就不能确定。约定真值：理论真值：理论设计值，公理值，理论公式计算值。计量约定值：国际计量大会规定的各种基本单位值，基本常数值。标准器件值：高级标准器件值作为较低级仪表的相对标准值。算术平均值：测量次数趋于无穷时，测量值的算术平均值趋于真值。第三页，共四十九页，2022年，8月28日误差2.测量误差a指测量值与待测量的真值之差。若某物理量的测量结果为，其真值为，则测量误差定义为：根据误差的性质，测量误差可分为系统误差和偶然误差。x第四页，共四十九页，2022年，8月28日系统误差是重复测量中保持恒定或以可预知(1)系统误差（简称系差）系差特点：确定性、有规律性、可修正性。系差来源：仪器不完善或使用不当；环境的恒定因素；理论或方法误差；实验者生理或心理的固有特点等。方式变化的误差分量。第五页，共四十九页，2022年，8月28日已定、未定系差系差分类：（按其可掌握程度分）已定系差指误差取值的变化规律及其符号和绝对值都能确切掌握的误差分量。修正公式为：已修正结果=测量值（或平均值）已定系差-未定系差指不能确切掌握误差取值的变化规律及其符号和绝对值的系差分量。仪表的基本允许误差主要属于未定系差。第六页，共四十九页，2022年，8月28日随机误差(2)偶然误差是重复测量中以不可预知的方式变化的误差分量。偶然误差特点：随机性、服从统计规律。偶然误差服从正态分布规律。正态分布偶然误差的特征下面介绍其中的两个基本概念：实验值及平均值的标准偏差概念第七页，共四十九页，2022年，8月28日正态分布正态分布偶然误差的特征若对某物理量作无数次重复测量，服从正态分布时x测量值出现的概率密度为f(x(，f(x(x拐点拐点ss68.3%mm+m称为正态分布的标准偏差表征测量的分散性-Si1nxinlim∞n=平均值称为算术平均值的标准偏差第八页，共四十九页，2022年，8月28日图示ssmm+m-68.3%m-s2m+s295.4%m99.7%x-s3x+s3xxf(x(正态概率分布f(x(xxsx+sx-测量的分散性较大f(x(xssxx+x-测量的分散性较小第九页，共四十九页，2022年，8月28日随机差基本特征f(x(x拐点拐点ss68.3%mm+m-正态分布偶然误差有四个基本特征绝对值很大的误差出现的概率近于零；偶然误差的算术平均值随着测量次数单峰性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的率大；的增加而减小，最后趋近于零。绝对值相等的正误差和负误差出现的几率相等；对称性有界性抵偿性归纳第十页，共四十九页，2022年，8月28日标准偏差实验值及平均值的标准偏差概念测量值的算数平均值=Si1nxin1x实际上测量次数总是有限的，在大学物理实验中，n通常取≤n≤105，一般采用下述定义式进行评估平均值的实验标准偏差=xs=nSi21n(xi)nx1=n()xs（表征同一被测量的各个测量列平均值的分散性）多次实验值的标准偏差Si21n(xi)nx1==xs（表征随机误差引起测得值的分散性）xi第十一页，共四十九页，2022年，8月28日二、不确定度概念二、测量不确定度的基本概念第十二页，共四十九页，2022年，8月28日必要性真值误差因此，误差无法按其定义式精确求出，理论上是对真值而言一般不可能准确知道不应将任何一个确定的已知值称作误差。误差的估计值或数值指标应采用另一个专门名称，这个名称就是不确定度现实可行的办法就只能根据测量数据和测量条件进行推算（包括统计推算和其它推算），去求得误差的估计值。第十三页，共四十九页，2022年，8月28日定义用来表征被测量的真值所处的量值散布范围内的评定。即表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度。不确定度通常用表示。u不确定度所反映的是可能存在的误差分布范围，即偶然误差分量和未定系差分量的联合分布范围。u内的概率约等于或大于0.95。表示真值在区间()xu—，xu+某个被测量的直接测量结果表达式：x+=xu—x第十四页，共四十九页，2022年，8月28日两类分量不确定度有A、B两类分量：A类分量uA偶然误差引起（重复测量时）用统计学方法计算的分量B类分量ujBj(=1,2,...(系统误差引起是用其它方法（非统计方法）评定的分量。两类分量用方和根法合成：+2Sj((ujB=uA2u第十五页，共四十九页，2022年，8月28日A类分量计算1.直接测量结果不确定度的评定A(1)类分量的计算uA重复测量次数为n时，uA由平均值的标准偏差S求得，即第十六页，共四十九页，2022年，8月28日B类分量计算B(2)类分量的计算uB实验中直接测量的B类分量uB近似取仪器误差限值,是认为uB主要由仪器的厂家给出的仪器误差限值或最大允许误差△I，实际上就是一种未定系差。取误差性质决定的。Xms%仪器米尺最小刻度的一半螺旋测微器最小刻度的一半游标卡尺精度（尺上标明）数字显示仪器显示的最小单位电表量程级别常用仪器的rIrI第十七页，共四十九页，2022年，8月28日结果表达不确定度用下式计算u(3)物理量直接测量结果的表达+=xu—X（单位）ur=ux称为相对不确定度ur称为不确定度u，X如果是多次直接测量，则式中为平均值xx+2Sj((ujB=uA2u第十八页，共四十九页，2022年，8月28日间接测量不确定度2.间接测量结果的不确定度合成设间接被测量为Y，有m个直接被测量，分别为X1，X2，…，Xm，它们之间的函数关系为)Y=f)...X1X2Xm,,其全微分式=Si=1mef)X)iXieYddXi对于有限小量=Si=1mef)X)iXieYXi△△其标准差的合成式sY=Si=1mesXi2f)X)iXie第十九页，共四十九页，2022年，8月28日传递公式由SY=Si=1keSXi2f)X)iXie可求不确定度(1)测量不确定度的传递公式uY=Si=1keuXi2f)X)iXie是各直接测量量的不确定度uXiXi=Si=1keflnuXi2XieuYY2若中各量间是积商关系f)X)i用相对不确定度来合成更方便第二十页，共四十九页，2022年，8月28日计算步骤(2)间接测量结果不确定度的评估间接测量结果不确定度的计算步骤①。先求出各直接测量量的平均值、不确定度的A、B两类分量，再求出各直接测量量的不确定度uXi根据和XiY的函数关系式写出的全微分表达式Y；；不确定度的传递公式用已述Y求的或uYYuY。uY=Si=1keuXi2f)X)iXie用时，如果某一分量小于最大分量（或合成结果）的1/5到1/6，可将这一分量看作是可忽略的微小分量而将其删除。第二十一页，共四十九页，2022年，8月28日结果表达间接测量结果的表达②间接测量结果的表示方法与直接测量类似，+=yu—Y（单位）Yur=uyY最佳估值（平均值）代入函数关系式求得。为间接测量量的最佳估值，由各直接测量的y写成以下形式：第二十二页，共四十九页，2022年，8月28日例：测圆柱体体积V测圆柱体直径d和高度hh/cm3.2503.2523.2583.2563.2583.250d/cm2.8142.8242.8202.8242.8202.818计算：使用计算器圆柱体体积公式：将d和h的测得值代入上式，求出体积V：第二十三页，共四十九页，2022年，8月28日标准不确定度的计算：(1)求d的u(d)从多次测量

从钢直尺合成(2)求h的从多次测量从游标卡尺，合成第二十四页，共四十九页，2022年，8月28日(3)V的标准不确定度：测量结果为

第二十五页，共四十九页，2022年，8月28日例一r求密度例已知=(213.040.05)gm±mhdd量具:h0~125mm分度0.02mm游标卡尺80.3880.3780.3680.3780.3680.38mm测量数据量具:0~25mm一级千分尺19.46519.46619.46519.46419.46719.466mm测量数据单位单位（1）求h及huh=Si1nin1h=80.37mm解法提要第二十六页，共四十九页，2022年，8月28日续=hsSi21n(hi)n1=h=Si2161=hi)80.37)6=0.0036mmhu=+Bu2Au2=+220.00360.02=0.012mmh=h(80.370.02)mm±hu=±（2）求及udd=Si1nin1=19.466mmdd=sSi21n(in1==Si2161=hi)19.466)6=0.00049mmddd(n()6()n))6((/3第二十七页，共四十九页，2022年，8月28日续=+Bu2u2=+220.000490.004=0.0042mm=(19.4660.005)mm±u=±dudAdd（3）求r=r±urr=4mpdh2=8.927cmg.-3r=ur(u(mm2+(2(udd2×+(u(2hh=0.048%=ru(r(ur=rru(r(=8.927×0.048%=0.0043cmg.-3r=r±ur=

(8.9270.005)±cmg.-3/3第二十八页，共四十九页，2022年，8月28日例二D1D2h例已知=(3.6000.004)cm±D1=(2.8800.004)cm±D2=(2.5750.004)cm±hV求体积解法提要h=V4p(D2-D1(229.436=cm3lnV=ln4p+ln(D2-D1(22+lnhelnVeD2=D22(D2-D1(22,elnVeD1=D12(D2-D1(22,-elnVeh=h1第二十九页，共四十九页，2022年，8月28日=Si=1keflnuXi2XieuYY2应用公式即=uYYSi=1keflnuXi2Xie2((2得+D12D2-D122=uVV((2(D22D2-D122(2D22u((D12u+2hh122u=(38.1+24.4+2.4(106_=106_64.9=(uV(ruVV=106_64.9=0.0081=0.81%uV=V0.0081=0.00819.436=0.076cm3=0.08cm3V=

(9.440.08)±cm3续第三十页，共四十九页，2022年，8月28日三、数据处理知识三、数据处理的基本知识与方法第三十一页，共四十九页，2022年，8月28日说明1.有效数字测量结果的有效数字２.数据处理一般方法有效数字的运算规则列表法作图法逐差法线性回归法第三十二页，共四十九页，2022年，8月28日有效数字问题举例阐述基本原则：uX+-X仅含一位有效数字。（采用保险性“进位法”，即非零全入法取舍）。uX01%0可保留两位有效数字。ur根据确定有效数字位数。u其末位有效数字应与对齐。u（采用统计性四舍五入法，即“四舍余五入，整五凑偶入”进行取舍）。结果表达中的有效数字取舍问题结果表达中的有效数字取舍问题第三十三页，共四十九页，2022年，8月28日举例若135.351mmXX则取()mm+-0.3135.4135.350mmX若X则取()mm+-0.3135.4135.250mmX若X则取()mm+-0.3135.2例如：若由测量和计算得uX135.341mm0.22mm结果表达应取成：+-XXu135.3()+-mm0.3uX01%00.23%ur第三十四页，共四十九页，2022年，8月28日作图基本要求必须用坐标纸作图1.图线名称如：U-T图线;R-T图线等。2.坐标名称及单位如：U(mv),T(K);R(),T(C)等。W3.分度恰当，布图匀称在不损失测量数据有效数字的前提下，并考虑到图线布局匀称性，合理设定坐标分度。4.给出最小格值图例如：T:1mm1.0K,U:1mm5mV等.5.若图线为直线，在求直线斜率时应注意在直线上选取的两个计算点相距不能太近，以免损失有效数字。要标明计算点及其坐标值，如（110.0,775),(240.0,385).测量点也应有明确标记，如等。对作图的基本要求对作图的基本要求第三十五页，共四十九页，2022年，8月28日举例TK100.0150.0200.0250.0300UVm400500600700800TU~曲线T：1mm=1.0KU:1mm=5mV(110.0,775)(240.0,385)UraTr385-775240.0-110.0-3.00(mV/K)例：测得某二极管正向电压随温度的变化数据为UTU()VmTK)(110.0125.0140.0............245.0776730690379试作关系图，并求温度系数TU~UraTr（即图线斜率）第三十六页，共四十九页，2022年，8月28日二、实验要求二、实验课具体要求第三十七页，共四十九页，2022年，8月28日实验课三个环节

1.课前预习

2.课堂实习

3.课后小结每堂实验课都包括三个环节：第三十八页，共四十九页，2022年，8月28日课前预习在原始记录纸上设计好数据表，写出预习报告

了解所用仪器的结构及使用注意事项；

1.课前预习

认真阅读教材，明确本次实验的目的和任务；

正确理解实验测量所依据的原理、公式及采用的方法；

（包括实验目的、原理及数据表格），老师要检查。第三十九页，共四十九页，2022年，8月28日课堂实习2.课堂实习

遵守实验室规则（不要迟到），按进度表顺序进行实验；遵守仪器操作规则，严肃认真，独立操作；实验完毕后，原始数据交老师签字认可，整理好桌面仪器。因病、事不能上课者，必须出具医院或院系办证明，否则按旷课论。第四十页，共四十九页，2022年，8月28日课后小结3.课后小结

实验报告要用物理系统一的报告纸撰写，要求字体工整、文理通顺、图表规矩、结论明确。报告内容包括：实验目的、实验原理、实验内容、数据记录与处理、结果与讨论。要尽量用自己的语言写。下次实验交前次实验报告。

第四十一页，共四十九页，2022年，8月28日实验报告示例用单摆测定重力加速度【实验目的】1．了解决定单摆运动周期的各种因素及关系。2．用单摆测定重力加速度。【仪器用具】单摆装置（钢球直径约2cm，摆线长可调）、秒表（精度0.1s）、游标卡尺（CT200-312型，0-15cm，精度0.02mm）、钢卷尺（0-200cm，精度0.1cm）。第四十二页，共四十九页，2022年，8月28日【实验原理】其中l为摆长，即摆线支点到小球质心的距离；g为实验地的重力加速度。当θ很小时，对式（1）取零级近似，摆动周期近似为

单摆由一条细线和一只小球组成。细线一端固定，另一端连接小球。细线几乎没有弹性，小球直径比线长小得多，且细线质量比小球质量小得多。若把小球偏离平衡位置，使摆线与铅垂线成θ角，释放小球。在地球重力场的作用下，小球围绕平衡位置作简谐振动。摆动周期为

若测出摆长及周期，即可计算出实验地点的重力加速度。测量周期时，为了提高测量精度减小误差，可连续测量单摆摆动多个周期的总时间，再除以摆动次数来求出单次摆动的时间，即周期。

第四十三页，共四十九页，2022年，8月28日【实验内容】1．测量不同摆长对应的周期。1）如图1所示，用钢卷尺测量支点到小球上下端点的距离、计算摆长2）分别调节摆长约等于（60、70、80、90、100）cm，保持初始摆角，用秒表测量单摆连续摆动50个周期的时间。对应每个摆长，重复测量5次。图1摆长测量示意图2．利用摆长约等于100cm的结果计算重力加速度。

3．保持实验内容2的摆长不变，用秒表测量初始摆角时，单摆连续摆动10个周期的时间，并讨论摆角较大时的摆动情况。第四十四页，共四十九页，2022年，8月28日【测量数据和数据处理】1．测量不同摆长对应的周期，数据见表1。表1不同摆长对应的周期摆长

初始摆角

50个周期的时间周期

1234560.300.04377.9078.1578.0077.9078.1578.020.0561.56040.001170.300.04384.2584.4084.3084.1084.3584.280.0511.68560.001079.800.04389.9089.7089.7589.5589.6589.710.0581.79420.