第八章逻辑代数基础

数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0~9十个数码。简称BCD码。

1.用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。第八章码制第八章逻辑代数及逻辑门8.1概述8.1.1逻辑代数的基本概念

英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用逻辑代数描述逻辑关系，反映了逻辑变量运算规律的数学，从而诞生了著名的“布尔代数”。逻辑代数只能用‘0’和‘1’来表示两个相反的量8.1.2逻辑电路与逻辑代数的关系逻辑电路：指输入量与输出量之间具有一定逻辑关系的电路。三种基本门电路为“与”门电路、“或”门电路和“非”门电路。8.1.3门电路简介逻辑门电路是用来实现基本逻辑关系的电路，是组成数字电路的最基本的单元电路。小规模IC（SSI）1~10个逻辑门中规模IC（MSI）10~100个逻辑门最常用的为TTL门电路。8.2基本逻辑运算和逻辑门一、逻辑变量和逻辑常量

逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0

和逻辑1

，0和1称为逻辑常量，并不表示数量的大小，无大小、正负之分，而是表示两种对立的逻辑状态。二、逻辑基本运算8.2.1、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：

Y＝A·B

功能表

真值表逻辑符号8.2.1“与”运算8.2.2‘或’运算2、或逻辑（或运算）

或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：

Y=A+B功能表真值表逻辑符号8.2.2‘或’运算8.2.3‘非’运算3、非逻辑（非运算）

非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：

Y=A逻辑符号功能表真值表8.2.3“非”门电路三、常用的逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为：（2）或非运算：逻辑表达式为：8.3复合逻辑运算和复合逻辑门（3）异或运算：逻辑表达式为：（4）与或非运算：逻辑表达式为：8.4逻辑代数中的三种基本运算8.5逻辑代数的基本定理、公式8.5.1基本公式

（1）常量之间的关系8.5逻辑代数的基本公式、定理、规则（2）基本公式（3）基本定理8.5逻辑代数的基本公式、定理、规则8.5逻辑代数的基本公式、定理、规则（4）常用公式8.5逻辑代数的基本公式、定理、规则8.5.2逻辑代数的基本定理

例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：

（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。8.5.2逻辑代数的基本定理

（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：(3)对偶定理例如：对偶定理:若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。

定义：若将其中的·和＋交换0和1交换得到的式子叫做Y的对偶式，记做Y’。或者说Y、Y`互为对偶式。例如：

8.5.2逻辑代数的基本定理8.5.3逻辑函数及其表示方法1.51.逻辑函数

事务间的因果关系是一种逻辑关系，可用逻辑函数表示如：前面介绍灯与开关间的逻辑关系又如举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，其中是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举才算成功。当用表示举重结果时，A,B,C的逻辑关系可表示为：

Y=A(B+C)1.5.2逻辑函数的表示方法常用的有四种：真值表；逻辑函数式；逻辑图；卡诺图。1.真值表左侧是输入变量的所有取值，右侧是输出变量的值，即函数值。当输入变量个数为n时，真值表共有时，真值表共有2n8.5.3逻辑函数及其表示方法11111110110101000011001000010000YABC2.函数式举重裁判的函数式：Y=A(B+C)

特点：便于运算、化简；便于画逻辑图；不便从逻辑问题直接得到。8.5.3逻辑函数及其表示方法3.逻辑图举重裁判函数的逻辑图：特点：便于用电路实现。&1³AYBC8.5.3逻辑函数及其表示方法8.5.3逻辑函数及其表示方法4.各种表示方法间的互相转换（1）由真值表写出逻辑函数。

1.找出真值表中输出Y＝1的输入变量的组合。

2.每组输入变量的组合对应一个乘积项，取值为1的用原变量表示、为0的用反变量表示。

3.将乘积项相加，即为Y的逻辑函数式。(2)由逻辑式列出真值表8.5.3逻辑函数及其表示方法3由逻辑式画出逻辑图用图形符号代替逻运算符号例如：8.5.3逻辑函数及其表示方法4.由逻辑图写出逻辑式8.5.2逻辑函数及其表示方法逻辑函数的公式化简法逻辑函数式最简的标准化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件。逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等等。与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准：包含的与项最少；在满足1项的前提下，每个与项包含的变量个数最少。8.6逻辑函数的公式化简法1.6.2常用化简方法一、并项法利用基本公式8.6逻辑函数的公式化简法二、吸收法

利用公式8.6逻辑函数的公式化简法3.消项法：利用公式8.6逻辑函数的公式化简法4.消因子法：利用公式8.6逻辑函数的公式化简法5.配项法：①利用②利用8.6逻辑函数的公式化简法1.逻辑函数的最小项及性质一、最小项,最大项1）.最小项

n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的与项，且这些变量均以原变量或反变量的形式出现一次，则称m为该组变量的最小项。以三变量为例如表。8.6.2卡诺图化简法

2）.最小项的性质

可见三变量逻辑函数的最小项有8个（23），四变量逻辑函数的最小项有16个（24），则n变量逻辑函数的最小项有2n个2).最小项的性质：对应输入变量任何取值，都会有一个最小项，且仅有一个最小项的值为1，任意两个最小项之积为0ABC.ABC=0全体最小项之和为1；

两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项，且消去一个因子

定义：如两个最小项只有一个变量不相同，则称之为逻辑相邻。和是逻辑相邻的最小项，当它们相加时，会消去变量A2.逻辑函数的最小项表达式最小表达式的常用方法：展开法和真值表法（1）展开法利用基本公式A+A=1可以把任何一个函数化为最小项之和的标准形式。3.用卡诺图表示逻辑函数一、表示最小项的卡诺图将变量的全部最小项用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列，所得到的图形叫做变量的卡诺图。二、用卡诺图表示逻辑函数1.把逻辑函数划简为最小项之和。2.在卡诺图相应位置标“1”4逻辑函数的卡诺图化简法一、合并最小项的规则两个相邻最小项可合并并消去一个因子。合并的结果中只剩下公共因子。四个相邻最小项可合并并消去两个因子，合并的结果中只剩下公共因子。4.逻辑函数的卡诺图化简法4.逻辑函数的卡诺图化简法（3）卡诺图划简法步骤1.将函数化为最小项之和2.画出卡诺图3.找出可以合并的最小项。4.选取划简后的乘积项。包含函数式中的所有最小项。所用的最小项最少每个乘积包含的因子最少同一个格可以被重复包围，但每一次都要包围有新的方格。4.逻辑函数的卡诺图化简法例题：划简4.逻辑函数的卡诺图化简法例2.化简逻辑函数的卡诺图化简法例3化简具有无关项的逻辑函数化简法约束项，任意项和逻辑函数式中的无关项①由于外部条件的限制，